中学から数学だいすき!

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無理数−乗法公式

無理数の計算 >

 乗法公式を使って無理数の計算をしてみましょう。乗法公式は、分配法則から導くことができます。
@分配法則 a(b+c)=ab+ac  aを、bcに分配して掛ける。
 例えば、(a+b)(X+Y)の計算では、aと(X+Y)を掛け、bと(X+Y)を掛けます。
多項式の展開
 乗法公式を同様に導くことができます。
 (a+b)(a-b)=aa-ab+ba-bb=a2-b2
 (a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2
 (x+a)(x+b)==xx+xb+ax+ab=x2+(a+b)x+ab

 乗法公式をまとめます。確認してください。

規則 乗法公式
1  (a+b)(a-b)=a2-b2  和と差の積
2  (a+b)2=a2+2ab+b2  和の2乗
3  (a-b)2=a2-2ab+b2  差の2乗
4  (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab@  同類項をまとめる@
5  (a+b)(X+Y)=aX+aY+bX+bY  順に掛ける

例題 次の計算をしてください。
1. (3+2)(3-2) (岡山県高)
2. (7-1)2 (東京都高)
3. (3+4)(3-1) (長野県高)
4. (8+1)(2-3) (島根県高)
(解答)
1.  (3+2)(3-2)   和と差の積=2乗の差 から、
=3-4=-1 ・・・(答)
2.  (7-1)2
=7-27+1
=8-27 ・・・(答)
3.  (3+4)(3-1)
=3+(4-1)3-4
=33-1 ・・・(答)
4.  (8+1)(2-3)  前から順に掛ける。
=16-38+2-3  根号内を最小にする。
=4-62+2-3  同類項をまとめる。
=1-52 ・・・(答)

練習
 次の計算をしてください。
1.  (7-25)(7+25)     (三重県高)
2.  (32-1)(22+1)-4/2 (愛媛県高)
3.  (12-8)2+(103)/2 (都立国分寺高)
4.  -2(2-√6)+(3+5)(3-5)/2
(都立併設型中高一貫高)
5.  a=3/(2+1)、b=3/(2-1) のとき、
 (a2+b2)2-(a2-b2)2
(久留米大附設高 改題)
答 え










答 え
1.  (7-25)(7+25)  和と差の積=2乗の差
=7-20=-13 ・・・(答)
2.  (32-1)(22+1)-4/2  前から順に掛ける。
=(12+32-22-1)-4/2  分母を有理化する。
=11+2-22
=11-2 ・・・(答)
3.  (12-8)2+(103)/2  和の2乗から、
=12-2(12×8)+8+(103)/2 根号内を最小に
=20-86+(103)/2  有理化する。
=20-86+56
=20-36 ・・・(答)
4.  -2(2-√6)+(3+5)(3-5)/2 2乗の差に。
=-2(2-√6)+4/2 有理化する。
=12-22+22  根号内を最小にする。
=23 ・・・(答)
5.  a=3/(2+1)、b=3/(2-1) のとき、
 (a2+b2)2-(a2-b2)2  和と差の積にする。
=(a2+b2+a2-b2)(a2+b2-a2+b2)
=2a2×2b2
=4(ab)2 ・・・
ここで、abを計算する。
 ab={3/(2+1)}{3/(2-1)} 2乗の差に。
  =3/(2-1)=3
=4×32=36 ・・・(答)

JUGEMテーマ:学問・学校

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