中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
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無理数−式の値1

無理数の計算 >

 与えられた条件をもとに、式の値を求めてみましょう。

 条件が当てはまるように、乗法公式や因数分解を使って求める式を変形します。

例題1
 x=6+1、y=6-1 のとき、x2-y2 の値を求めてください。
(和洋国府台女子高)


 x2-y2=(x+y)(x-y) 2乗の差の公式から、
=26×2
=46 ・・・(答)

例題2
 x=6+2、y=6-2 のとき、x2y+xy2 の値を求めてくだ
さい。
(神奈川県高)

 x2y+xy2  因数分解する。
=xy(x+y)  x,yを代入する。
=(6-4)×26
=46 ・・・(答)

(参考) 対称式の変形
 文字(x,y)を交換しても成り立つ式を対称式といいます。対称式は、和(x+y)と積xyの形に変形できます。
例: x2y+xy2=xy(x+y)
1/x+1/y=(x+y)/xy
x2-xy+y2=(x+y)2-3xy

練習
 次の式の値を求めてください。
1.  a=5+3+1、b=5+3-1 のとき、
a2-b2
(日大第二高)
2.  a+b=3+、a-b=2 のとき、
a2-a+b-b2
(明治学院高)
3.  x=32-23、y=32+23 のとき、
x2-xy+y2
(豊島岡女子学園高)
4.  x=1+2+3 のとき、
x2-2x-4
(早実高等部)
5.  x2-5x+1=0 のとき、
x2+1/x2
(大阪星光学院高)
答 え










答 え
1.  a=5+3+1、b=5+3-1 のとき、
 a2-b2  2乗の差=和と差の積 から、
=(a+b)(a-b)
=(25+23)×2
=45+43 ・・・(答)
2.  a+b=3、a-b=2 のとき、
 a2-a+b-b2  因数分解する。
=a2-b2-(a-b)
=(a+b)(a-b)-(a-b)  共通院数でくくる。
=(a-b)(a+b-1)  代入する。
=2(3-1)
=6-2 ・・・(答)
3.  x=32-23、y=32+23 のとき、
=x2-xy+y2 和の2乗の公式から、
=(x+y)2-3xy ・・・
ここで、
 x+y=62
 xy=(32)2-(23)2=18-12=6
=(62)2-3×6
 =72-18=54 ・・・(答)
4.  x=1+2+3 のとき、
 x2-2x-4 差の2乗の公式から、
=(x-1)2-5 ・・・
ここで、
 x=1+2+3 を変形する。
 x-1=2+3
=(2+3)2-5
 =(2+26+3)-5
 =26 ・・・(答)
5.   x2-5x+1=0 のとき、
 x2+1/x2  和の2乗の公式から、
=(x+1/x)2-2 ・・・
ここで、
 x2-5x+1=0  ≠0 から、xで割る。
 x+5+1/x=0
 x+1/x=-5
=25-2=23 ・・・(答)

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