中学から数学だいすき!

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無理数−整数・小数部分

無理数の計算 >

 無理数を含む数の整数・小数部分から、式の値を求めてみましょう。

例題
 14 の整数部分をa、小数部分をbとするとき、
 2a2-2ab-b2 の値を求めてください。
(法政大女子高)

 9=3<14<16=4 から、
 14=3.…=a+b よって、a=3
 b=14-3
 2a2-2ab-b2 a,b を代入する。
=18-6(14-3)-(23-614)
=13 ・・・(答)

(別解)(a+b)2=142 に着目
 a+b=14 ・・・
 9=3<14<16=4 から、
 14=3.… よって、a=3 ・・・
 2a2-2ab-b2
=3a2-(a2+2ab+b2)
=3a2-(a+b)2  ´△鯊綟する。
=27-14=13  ・・・(答)

練習
 次の式の値を求めてください。
1.  11 の小数部分をaとするとき、
a2+6a+5
(近畿大附属高)
2.  119 の小数部分をxとするとき、
x3+21x2+x-19
(渋谷教育学園幕張高)
3.  5-1 の整数部分をa、小数部分をbとするとき
b2+3ab+2a2
(法政大高)
4.  25 の小数部分をaとするとき、
a2+8a
(明治大付属中野高)
5.  (3+5)2 の小数部分をxとするとき、
x2+14x
(慶應義塾志木高)
答 え










答 え
1.  11 の小数部分をaとするとき、
a2+6a+5 の値
 9=3<11<16=4 から、
 11=3.…=3+a ・・・
 a2+6a+5  (a+3)2 にする。
=(a2+6a+9)-4
=(a+3)2-4  ,鯊綟する。、
=11-4=7 ・・・(答)
2.  119 の小数部分をxとするとき、
x3+21x2+x-19 の値
 100=10<119<121=11 から、
 119=10.…=10+x ・・・
  x3+21x2+x-19  (x+10)2 にする。
=x(x2+20x+100)+x2-99x-19
=x(x+10)2+x2-99x-19  ,鯊綟する。
=119x+x2-99x-19
=x2+20x-19  (x+10)2 にする。
=(x2+20x+100)-119
=(x+10)2-119  ,鯊綟する。
=119-119=0 ・・・(答)
3.  5-1 の整数部分をa、小数部分をbとするとき
b2+3ab+2a2 の値
 4=2<5<9=3 から、
 2<5<3  1を引く。
 1<5-1<2
 5-1=1.…=a+b
 a=1
 b=5-2
 b2+3ab+2a2 aを代入する。
=b2+3b+2  bを代入する。
=(9-45)+3(5-2)+2
=5-5 ・・・(答)
4.  25 の小数部分をaとするとき、
a2+8a の値
 25=20
 16=4<20<25=5 から、
 20=4.…=4+a ・・・
 a2+8a  (a+4)2 にする。
=(a2+8a+16)-16
=(a+4)2-16  ,鯊綟する。
=20-16=4 ・・・(答)
5.  (3+5)2 の小数部分をxとするとき、
x2+14x の値
 (3+5)2=8+215=8+60
 49=7<60<64=8  8を足す。
 15<8+60<16
 8+60=15.…=15+x
 60=7+x ・・・
x2+14x  (x+7)2 にする。
=(x2+14x+49)-49
=(x+7)2-49  ,鯊綟する。
=60-49=11 ・・・(答)

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