規則性(表の数字1)
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表の数字から規則性を見つけ、問題を解いてみましょう。
練習
自然数をIから順に9個ずつ各段に並ぺ、縦横3個ずつの9個の数を■で表し、■の左上の数をa、右上の数をb、左下の数をc、右下の数をd、真ん中の数をxとします。
たとえば、上の表の■では、a=5、b=7、c=23、d=25、x=15です。次の問いに答えてください。
1. aをxを使って表してください。
2. M=bd-ac とするとき、次の(1)(2)の問いに答えてください。
(1) a、b、c、dをそれぞれxを使って表すことで、Mの値は4の倍数になることを証明してください。
(2) aが1段目から10段目までにあるとき、一の位の数が4になるMの値は何通りありますか。次の【 ア 】〜【 ウ 】に適当な数を入れ、求め方を完成させてください。
答 え
答 え
1.
aの下の数は、a+9
xは、a+9 の右隣の数なので、x=a+9+1
よって、a=x-10 ・・・(答)
2.
(1) a=x-10
b=x-8
c=x+8
d=x+10 から、
M=bd-ac
=(x-8)(x+10)-(x-10)(x+8)
=x2+2x-80-(x2-2x-80)
=4x xは自然数なので、Mは4の倍数になる。
(2) x=10p+q とする。(pは自然数、q=0〜9の整数)
M=4x=40p+4q
q=1: M=40p+4 ーの位が4
q=6: M=40p+24=(40p+20)+4 → ーの位が4
(答) 【ア】1 【イ】6
両端を除き、xの一の位の数が1か6になる数を求める。
2段目:10〜18のうち、11,16
3段目:19〜27のうち、21,26
4段目:28〜36のうち、31
5段目:37〜45のうち、41
6段目:46〜54のうち、51
7段目:55〜63のうち、56,61
8段目:64〜72のうち、66,71
9段目:73〜81のうち、76
10段目:82〜90のうち、86
11段目:91〜99のうち、96 合計14通り
(答) 【ウ】14
表の数字から規則性を見つけ、問題を解いてみましょう。
練習
自然数をIから順に9個ずつ各段に並ぺ、縦横3個ずつの9個の数を■で表し、■の左上の数をa、右上の数をb、左下の数をc、右下の数をd、真ん中の数をxとします。
1段目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||
2段目 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | ||
3段日 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | ||
4段日 | 28 | 29 | 30 | 31 | … | ||||||
: |
(求め方) (1)よりMの値は4の倍数だから、Mの値のーの位の数が4になるのはxのーの位の数が【 ア 】または【 イ 】になるときである。 xは2段目から11段目までにあり、各段の両端を除く自然数であることに注.意して、 Mの値の個数を求めると【 ウ 】通りである。 |
(鹿児島県高) |
答 え
答 え
aの下の数は、a+9
xは、a+9 の右隣の数なので、x=a+9+1
よって、a=x-10 ・・・(答)
1段目 | 1 | 2 | 3 | 4 | a=5 | 6 | b=7 | 8 | 9 | ||
2段目 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | x=15 | 16 | 17 | 18 | ||
3段日 | 19 | 20 | 21 | 22 | c=23 | 24 | d=25 | 26 | 27 | ||
4段日 | 28 | 29 | 30 | 31 | … | ||||||
: |
(1) a=x-10
b=x-8
c=x+8
d=x+10 から、
M=bd-ac
=(x-8)(x+10)-(x-10)(x+8)
=x2+2x-80-(x2-2x-80)
=4x xは自然数なので、Mは4の倍数になる。
M=4x=40p+4q
q=1: M=40p+4 ーの位が4
q=6: M=40p+24=(40p+20)+4 → ーの位が4
(答) 【ア】1 【イ】6
2段目:10〜18のうち、11,16
3段目:19〜27のうち、21,26
4段目:28〜36のうち、31
5段目:37〜45のうち、41
6段目:46〜54のうち、51
7段目:55〜63のうち、56,61
8段目:64〜72のうち、66,71
9段目:73〜81のうち、76
10段目:82〜90のうち、86
11段目:91〜99のうち、96 合計14通り
(答) 【ウ】14
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