中学から数学だいすき!

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座標で解く(面積)

座標で解く 目次 >

 台形を2等分する直線の式を求めてみましょう。

 はじめに、三平方の定理、座標上での2点間の距離、中点の座標について確認します。

三平方の定理
 直角三角形ABCで、AB2=BC2+CA2

  座標で解く_2点間の距離と中点

2点間の距離
 A(x2,y2) B(x1,y2) のとき、
 AB2=BC2+CA2
   =(x2-x1)2+(y2-y1)2
 AB={(x2-x1)2+(y2-y1)2}

中点の座標
 ABを a:b に分ける点の座標を(x,y)とすると、
 (x-x1):(x2-x)=a:b
  a(x2-x)=b(x-x1)
  ax2-ax=bx-bx1
  (a+b)x=bx1+ax2
  x=(bx1+ax2)/(a+b)
 同様にして、
  y=(by1+ay2)/(a+b)
 内分点の(x,y)
 中点の座標は、a:b=1:1 なので、
 x=(x1+x2)/2
 y=(y1+y2)/2

練習
 下の図は、AD=4cm、BC=5cm、∠ADC=∠BCD=90°の台形ABCDです。対角線DB、ACの交点をEとし、それぞれの対角線の中点をF、Gとします。CD=acmとするとき、△EFGの面積をaを用いて表してください。

 座標で解く_面積
(明治大付属中野高)

答 え












答 え
(考え方)
 点E、F、Gの座標がわかれば、△EFGの底辺と高さがわかる。
 Eの座標は、2本の対角線の交点から求まる。
 FはBDの中点、GはACの中点から求まる。
  (x1,y1)と(x2,y2)の中点(x,y)は、
   x=(x1+x2)/2  y=(x2+y2)/2 となる。

 座標で解く_面積

 対角線BDの式は、y=ax/5 …
 対角線ACの式を求める。
  A(1,A) C(5,0) から、傾きは、-a/4
  y=(-a/4)x+b とすると、C(5,0) から、
  0=-5a/4+b b=5a/4
  よって、ACは、y=(-a/4)x++5a/4 …
 ´△慮鯏Eを求める。
  ax/5=(-a/4)x++5a/4 aでわり、20をかける。
  4x=-5x+25 x=25/9
  ,ら、y=ax/5=5a/9
  よって、E(25/9,5a/9) …
 
 △EFGの面積を求める。
 B(0,0) D(5,a) の中点は、F(5/2,a/2)
 A(1,a) C(5,0) の中点は、G(3,a/2) ← 3=(1+5)/2
  △EFGの底辺FGは、3-5/2=1/2
 から、高さは、5a/9-a/2=a/18
 面積=(1/2)×(a/18)÷2=a/72 (cm) ・・・(答)

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