中学から数学だいすき!

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座標で解く(線分長3)

座標で解く 目次 >

 角の二等分と垂線に関する問題を解いてみましょう。はじめに、角の二等分線定理と、2つの直線が垂直に交わる条件を確認します。

角の二等分線定理
 左の図で、∠Aの二等分線を引くと、AB:AC=BD:CD 。
(理由)
 ADに平行なCC'を引くと、AB:AC'=BD:CD
 点線の三角形は二等辺三角形なので、AC'=AC
 よって、AB:AC=BD:CD 

 角の二等分線定理と直線の直交 

垂直に交わる2直線の傾き
 右の図で、y=ax に垂直に交わる直線の傾きは、b=-1/a 。
(理由)
 y=ax に垂直な直線を y=bx として、bを求める。
 △AOBで、AB2=AO2+BO2 から、
  (a-b)2=(12+a2)+(12+b2)
  a2-2ab+b2=a2+b2+2
  -ab=1
  よって、b=-1/a

練習
 下の図のような∠C=90°である直角三角形ACBがあります。点Cから辺ABに引いた垂線と辺ABとの交点をD、∠ABCの二等分線と辺ACとの交点をEとすると、AE=3、EC=2となりました。線分BEと線分CDとの交点をFとするとき、線分DFの長さを求めてください。

 座標で解く_線分長3

(西大和学園高)
答 え












答 え
(考え方)
 点Cを(c,0)とし、角の二等分線定理から、cを求める。
 ABの傾きと、C(C,0)から、DCの式を求める。
 DCとABの交点Dを求める。
 BEとDCの交点Fを求める。
 三平方の定理から、DFを求める。
 座標で解く_線分長3
 BC=c として、cを求める。
  AB=(c2+52)=(c2+25)
 角の二等分線定理から、
  AB:BC=3:2
  (c2+25):c=3:2
  2(c2+25)=3c 2乗する。
  4c2+100=9c2
  5c2=100 c=25

 DCの式を求める。
  ABの傾きは 5/c=5/(25) から、
  直角に交わるDCの傾きは、-25/5
  DCを、y=(-25/5)x+b とすると、
  C(25,0)を通るので、
  0=(-25/5)×25+b b=4
 よってDCは、y=(-25/5)x+4 …

 交点Dを求める。
 ABは、y={5/(25)}x=(5/2)x
 DCは から、
  (5/2)x=(-25/5)x+4 10をかける。
  55x=-45x+40
  x=40/(95)=85/9
  y=(5/2)x=(5/2)×85/9=20/9
 よって、D(85/9,20/9) …

 交点Fを求める。
 BEは、y=2/(25)x=(5/5)x
 DCは から、
  (5/5)x=(-25/5)x+4 5をかける。
  5x=-25x+20
  x=20/(35)=45/3
  y=(5/5)x=(5/5)×(45/3)=4/3
 よって、F(4√5/3,4/3) …

 DFを求める。
 ↓と、三平方の定理から、
  DF2=(85/9-45/3)2+(20/9-4/3)2
    =(-45/9)2+(8/9)2
    =80/92+64/92=144/92
  DF=12/9=4/3 ・・・(答)

(別解) 図形で解く
 座標で解く_線分長3
 BC、ABを求める。
 角の二等分線定理から、AB:BC=3:2
 三平方の定理から、AB2=BC2+52
  AB=(3/2)BC を下の式にに代入する。
  (9/4)BC2=BC2+25
  (5/4)BC2=25 
  BC=20=25
  AB=(3/2)BC=35

 BD、DCを求める。
 △ABC∽△CBD から、
  AB:BC=BC:BD
  35:25=25:BD
  3:2=25:BD
  BD=45/3
 三平方の定理から、
  DC2=BC2-BD2=20-80/9=100/9
  DC=10/3

 DFを求める。
 DF=x とすると、CF=DC-x=10/3-x
 角の二等分線定理から、
  BD:BC=x:(10/3-x)
  45/3:25=x:(10/3-x)
  4/3:2=x:(10/3-x) 3をかける。
  2:3=3x:(10-3x)
  9x=20-6x
  x=20/15=4/3 ・・・(答)

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