中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
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2乗の計算_多項式

2乗の計算 目次 >

 かけ算の式を、たし算の式に(展開)してみましょう。次の例で、たし算で表される右辺の式を多項式といいます。右辺の2a、6b、x2、2x、1 はそれぞれ単項式です。
例:
 2(a+3b)=2a+6b
 (x+1)2=x2+2x+1

(参考) 展開
「展」は広げて並べる、「開」は閉じていたものを開くことです。つまり、積の形を和の形にすることを表しています。

 展開の公式(乗法公式)を使って計算をしてみましょう。乗法公式は、分配法則から導くことができます。
@分配法則 a(b+c)=ab+ac  aを、bcに分配してかける。
 例えば、(a+b)(X+Y)の計算では、aと(X+Y)をかけ、bと(X+Y)をかけます。
多項式の展開
 乗法公式を同様に導くことができます。
 (a+b)(a-b)=aa-ab+ba-bb=a2-b2
 (a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2
 (x+a)(x+b)==xx+xb+ax+ab=x2+(a+b)x+ab

 乗法公式をまとめます。確認してください。
1  (a+b)(a-b)=a2-b2  和と差の積
2  (a+b)2=a2+2ab+b2  和の2乗
3  (a-b)2=a2-2ab+b2  差の2乗
4  (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab@  同類項をまとめる@
5  (a+b)(X+Y)=aX+aY+bX+bY  順にかける

例題1
 (3-2)2 を計算してください。
(岩手県高)

 (3-2)2 公式2から、
=9-62+2
=11-62 ・・・(答)

例題2
 (x+4)2+(x+5)(x-5) を計算をしてください。
(愛媛県高)

 (x+4)2+(x+5)(x-5) 公式2から、
=x2+8x+16+(x+5)(x-5) 公式1から、
=x2+8x+16+x2-25
=2x2+8x-9 ・・・(答)

練習
 次の計算をしてください。
1. (7-1)2
(東京都高)
2. 12+3(3-6)
(香川県高)
3. (x+8)(x-6)
(栃木県高)
4. (x-2)2-(x-1)(x+4)
(青森県高)
5. 20192-19812
(広島大附属高)
答 え










答 え
1.
 (7-1)2 公式3から、
=7-27+1
=8-27 ・・・(答)
2.
 12+3(3-6) 根号内を最小化する。
=23+3(3-6) 分配法則から、
=23+3-63
=3-43 ・・・(答)
3.
 (x+8)(x-6) 公式4から、
=x2+(8-6)x-48
=x2+2x-48  ・・・(答)
4.
 (x-2)2-(x-1)(x+4) 公式3から、
=x2-4x+4-(x-1)(x+4) 公式4から、
=x2-4x+4-(x2+3x-4) 同類項をまとめる。
=-7x+8 ・・・(答)
5.
 20192-19812  2000+19、2000-19 になっているので、
=(2000+19)2-(2000-19)2 公式1から、和と差の積にする。
=(2000+19+2000-19)(2000+19-2000+19)
=4000×38
=152000 ・・・(答)

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