中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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2乗の計算_2次方程式 発展

2乗の計算 目次 >

 分数や無理数を含む2次方程式、2変数の連立2次方程式を解いてみましょう。

例題1
 (x+3)/2-x2=(x-1)(x-6) を解いてください。
(中央大附属高)

 両辺を2倍して展開する。
 x+3-2x2=2(x2-7x+6)
 4x2-15x+9=0  係数を分解する。下表から、
 (4x-3)(x-3)=0
 x=3/4,3 ・・・(答)
4x2 +9 -15x
4 × -3 -3
1 -3 -12
積4 積9 和-15

例題2 
{ x-y=5  を解いてください。
x2-y2=15
(城北高)

 x-y=5  …
 x2-y2=15 …
◆(x+y)(x-y)=15 ,鯊綟する。
 5(x+y)=15
 x+y=15/5=35 …
yを消去する。
+:2x=45 x=25
:y=35-x=5
(答) x=25、y=5

練習
 次の2次方程式を解いてください。
1. (x-17)2-(x-23)2=36
(江戸川学園取手高)
2. 2(x-2)2-(x+1)(x-1)=3(1-x)
(東京電機大高)
3. x(x-12)/48+(x-4)2/16=1
(東工大附属科学技術高)
4. (x-2)2-5(x-2)+6=0
(福岡大附属大濠高)
5.
{ (x+y)2+x2+y2+(x-y)2=2019  x>0、y>0
 とする。 
(x+y)(x-y)=385
(早実高等部)
6.
{ (3x-2y)2+8(3x-2y)+16=0
5xy+15x-2y-6=0
(渋谷教育学園幕張高)
答 え










答 え
1.
 (x-17)2-(x-23)2=36  和と差の積にする。
 (2x-40)×6=36
 2x-40=6
 x=23 ・・・(答)
2.
 2(x-2)2-(x+1)(x-1)=3(1-x)  両辺を展開する。
 2x2-8x+8-x2+1=3-3x
 x2-5x+6=0  -2×(-3)=6、-2-3=-5 から、
 (x-2)(x-3)=0
 x=2,3 ・・・(答)
3.
 x(x-12)/48+(x-4)2/16=1  最小公倍数48をかける。
 x(x-12)+3(x-4)2=48  左辺を展開する。
 x2-12x+3x2-24x+48=48
 4x2-36x=0
 x(x-9)=0
 x=0,9 ・・・(答)
4.
 (x-2)2-5(x-2)+6=0  -2×(-3)=6、-2-3=-5 から、
 (x-2-2)(x-2-3)=0
 x=2+2, 3+2 ・・・(答)
5.
{ (x+y)2+x2+y2+(x-y)2=2019  …  x>0、y>0 
(x+y)(x-y)=385  …
,鯏験する。
 3x2+3y2=2019
 x2+y2=673  …
◆x2-y2=385 …
+ぁ2x2=1058
    x2=529 x>0
 202=400<529<625=252 から、
 21≦529≦24 529の一の位が9から、
 x=23
ぁy2=x2-385=529-385=144
 y>0 から、y=12
(答) x=23, y=12
6.
{ (3x-2y)2+8(3x-2y)+16=0  …
5xy+15x-2y-6=0  …
 平方公式から、
 (3x-2y+4)2=0
 3x-2y=-4 …
◆5xy+12x+(3x-2y)-6=0  を代入する。
  5xy+12x-4-6=0
  5xy+12x=10  
xを消去してyを求める。
 x(5y+12)=10  3倍する。
 3x(5y+12)=30  の3xを代入する。
 (2y-4)(5y+12)=30
 (y-2)(5y+12)=15  左辺を展開する。
 5y2+12y-10y-24=15
 5y2+2y-39=0  係数を分解する。下表から、
 (5y-13)(y+3)=0
 y=-3,13/5
5y2 -39 +2y
5 × -13 -13
1 3 15
積5 積-39 和2
xを求める。
:x=(2y-4)/3
 y=-3 のとき、x=-10/3
 y=13/5 のとき、x=(26/5-4)/3=6/15=2/5
(答) (x,y)=(-10/3,-3),(2/5,13/5)

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