中学から数学だいすき!

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2乗の計算_2次方程式 応用

2乗の計算 目次 >

 2次方程式の条件から、指定された文字または式の値を求めてみましょう。

 2次方程式 x2+ax+b=0 の係数と、解 x=p,q には次のような関係があります。
係数と解の関係 x2+ax+b=(x-p)(x-q)=0
 a=-(p+q)
 b=pq
方程式と解の関係  p2+ap+b=0
 q2+aq+b=0
解の公式 (p>q)  p={-b+(b2-4ac)}/(2a)@
 q={-b-(b2-4ac)}/(2a)

例題1
 x2+ax+8=0 の解の1つが4のとき、aの値と、もう1つの解を求めてください。
(秋田県高)

 もう1つの解をbとする。
 x2+ax+8=(x-4)(x-b)=0  係数を比較する。
  8=4b  b=2
  a=-4-b=-6
(答) a=-6, もう1つの解=2

例題2
 x2-6x-5=0 の2つの解をA、Bとするとき、2(A2+B)2-6(A+B)の値を求めてください。
(中央大杉並高)

 x2-6x-5=(x-A)(x-B)=0  係数を比較する。
  A+B=6  AB=-5 …
 2(A2+B2)-6(A+B)  第1項を平方完成する。
=2(A2++2AB+B2)-4AB-6(A+B)
=2(A+B)2-4AB-6(A+B)  ,鯊綟する。
=72+20-36=56 ・・・(答)

練習
 次の値を求めてください。
1. (x-a)2-4(x-a)+4=0 が x=1 を解にもつとき、定数aの値。
(豊島岡女子学園高)
2. x2-7x+a=0 の解の1つが2のとき、他の解。
(駿台甲府高)
3. x2-5x+3=0 の2つの解からそれぞれ2を引くと、x2+ax+b=0 の解になるとき、a、bの値。
(城北高)
4. x2+8x+6=0 の2つの解をa、bとするとき、
(2a2-16a+9)(3b2-24b-2) の値。
(明治大付属中野高)
5. aを正の定数とします。
x2-2x-15=0 ・・・
x2+4x+a=0  ・・・
,硫鬚1つが△硫鬚砲覆辰討い泙后このとき、aの値と、△里發1つの解。
(成城高)
6. x2+ax+3=0 の2つの解の差が26のとき、aの値。
(明治学院高)
答 え










答 え
1.
 (x-a)2-4(x-a)+4=0  平方公式から、
 (x-a-2)2=0
 x-a-2=0  x=1 から、
 a=-1 ・・・(答)
2.
 x2-7x+a=0 1つの解は2で、他の解をbとする。
 x2-7x+a=(x-2)(x-b)=0  係数を比較する。
 7=2+b  b=5 ・・・(答)
3.
 x2-5x+3=0 の2つの解を、p,q とする。
 x2-5x+3=(x-p)(x-q)=x2-(p+q)x+pq
 係数を比較する。
  p+q=5 pq=3 …
 (p-2)と(q-2)が、x2+ax+b=0 の解なので、
 x2+ax+b={x-(p-2)}{x-(q-2)}
 係数を比較する。
  a=-(p+q-4)=4-(p+q)  ,ら、
   =4-5=-1
  b=(p-2)(q-2)=pq-2(p+q)+4  ,ら、
   =3-2×5+4=-3
(答) a=-1, b=-3
4.
 x2+8x+6=0 の2つの解がa、bなので、
  a2+8a+6=0 …
  b2+8b+6=0 …
 (2a2-16a+9)(3b2-24b-2) ´△代入できるように変形する。
={2(a2-8a+6)+9-12}{3(b2-8b+6)-2-18}
=-3×(-20)=60 ・・・(答)
5.
 x2-2x-15=0 …
 x2+4x+a=0  …
,ら、(x-5)(x+3)=0 x=-3,5
△里發Π譴弔硫鬚bとする。
x=-3 のとき、
 x2+4x+a=(x+3)(x-b)  係数を比較する。
  4=3-b  b=-1
  a=-3b=3 >0
x=5 のとき、
 x2+4x+a=(x-5)(x-b)  係数を比較する。
  4=-5-b  b=-9
  a=5b=-45 <0  (不適)
(答) a=3, もう1つの解=-1
6.
(解答) 解の公式
 x2+ax+3=0  解の公式から、
 x={-a±(a2-12)}/2
 解の差が26から、
 {-a+(a2-12)}/2-{-a-(a2-12)}/2=26
 (a2-12)=26  両辺を2乗する。
 a2-12=24
 a2=36  a-±6 ・・・(答)
(別解) 係数の比較
 x2+ax+3=0 の解の差が26から、
 解を、b-6, b+6 とする。
 x2+ax+3={x-(b-6)}{(x-(b+6)}=0
 係数を比較する。
  (b-6)(b+6)=3
   b2-6=3  b=±3
  a=-{(b-6)+(b+6)}=-2b=±6 ・・・(答)

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