中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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2乗の計算_整数の用語

2乗の計算 目次 >

 整数に関連する用語を確認し、問題を解いてみましょう。

整数 @0 ±1 ±2 ±3 … @0から1ずつ増加・減少した数
偶数 @0 ±2 ±4 ±6 … @偶数+偶数、奇数+奇数
奇数 @±1 ±3 ±5 … @偶数+奇数 奇数×奇数
自然数 @1 2 3 4 5 … @正の整数
素数 @2 3 5 7 11 13 … @約数が1とその数だけの数(≧2)
平方数 @1 4 9 16 25 … @(自然数)2 の数

例題1
 nは自然数で、(24n)がある自然数になります。このようなnのうちで最も小さい数を求めてください。
(愛知県高)

 24を素数の積にする(=素因数分解する)。
 (24n)=(23×3×n)
 根号内が ( )2 のとき、自然数になるので、
 最小の自然数は、n=2×3=6 ・・・(答)

例題2
 3<(7a)<5 を満たす自然数aをすべて求めてください。
(奈良県高)

 32<(7a)2<52 が成り立つので、
 9<7a<25  7で割る。
 9/7=1.…<a<3.…
 2≦a≦3
(答) a=2,3

(参考) a,b,c が正のとき、
 a<b<c ⇔ a2<b2<c2  (⇔:双方向の「ならば」)
数の大小

練習
 次の各問いに答えてください。
1. (72n)/7 が自然数となるようなnのうち、最も小さい値を求めてください。
(秋田県高)
2. 1,4,9,16,…のように自然数の平方で表される数を平方数といいます。(600n)が平方数となるような自然数nのうち、最も小さいものを求めてください。
(広島大附属高)
3. 20≦x2≦11 を満たす整数は何個ありますか。
(近畿大附属)
4. √{(84-3n)/2} が自然数となるような、自然数nをすべて求めてください。
(青雲高)
5. n2-22n+96 が素数になるような自然数nをすべて求めてください。
(西大和学園高)
6. x、yは自然数とします。
4x2-9y2=31 を満たすx、yの値を求めてください。
(立教新座高)
答 え










答 え
1.
 (72n)/7
=6(2n)/7 
=6(2n/49)
 根号内が2乗になるのは、
 n=2×49=98 ・・・(答)
2.
 600を素数の積にする。
 (600n)=(23×3×52×n)
 根号内が ( )4 のとき、平方数になるので、
 n=2×33×52=1350 ・・・(答)
3.
(解答) 平方根で解く
 20≦x2≦11 から、
 20≦x≦11  …
 または、
 20≦-x≦11
 -11≦x≦20 …
 16=4≦20≦25=5 から、
 20=4.…
 5≦x≦11  から、11-5+1=7 (個)
◆-11≦x≦-5 から、11-5+1=7 (個)
(答) 14個
(別解) 平方数で解く
 20≦x2≦11 から、
 20≦x2≦121
 x2=25,36,49,64,81,100,11
 x=±5,±6,±7,±8,±9,±10,±11
(答) 14個
4.
 √{(84-3n)/2}
{3(28-n)/2}
 28-n=3×2, 23×3, 33×2, 33×23…を考える。
28-n=3×2 :n=22, S=3
28-n=23×3:n=4 , S=6
28-n=33×2:n<0 不適
28-n=33×23:n<0 不適
    :
(答) n=4,22
5.
 n2-22n+96 平方完成する。
=(n2-22n+112)-112+96
=(n-11)2-25
=(n-11+5)(n-11-5)
=(n-6)(n-16)=S とする。
 積Sが素数になるには、(n-6)と(n-16)の一方が、1か-1でなければならない。
 n=5 :S=-1×(-11)=11 素数
 n=7 :S=1×(-9)=-9 <0
 n=15:S=9×(-1)=-9 <0
 n=17:S=11×1=11 素数
(答) n=5,17
6.
 4x2-9y2=31  和と差の積にする、
 (2x+3y)(2x-3y)=31
 自然数の積が31になるのは、,△両豺腓任△襦
 2x+3y=1  2x-3y=31 …
 2x+3y=31 2x-3y=1 …
 ´△鬚修譴召豌鬚。
 2式の和から、4x=32 x=8
  2式の差から、6y=-30 y=-5 (不適)
◆2式の和から、4x=32 x=8
  2式の差から、6y=30 y=5
(答) x=8, y=5

JUGEMテーマ:学問・学校

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