中学から数学だいすき!

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2乗の計算_自然数 発展

2乗の計算 目次 >

 複数の自然数を求める問題を解いてみましょう。

 例題は、2つの素数を求める問題です。不等式で一方の範囲をしぼり込み、対応する他方を求めます。2つの数が、素数の条件にあうものを答えとします。

例題
 p と q はともに素数とします。 p<q とするとき、p+q=40 となる p、q の組をすべて求め、答えを(p,q)の形で示してください。
(早大高等学院)

 q=40-p>p
 2p<40  p<20
 p=2,3,5,7,11,13,17,19
 q=40-p
 (p,q)=(2,38),(3,37),(5,35),(7,33),
    (11,29),(13,27),(17,23),(19,21)
 qも素数である組は、
 (p,q)=(3,37),(11,29),(17,23) ・・・(答)

練習
 次の問いに答えてください。
1. 自然数a、bが(2018+a)=b2 を満たすとき、最小のaの値を求めてください。
(成城高高)
2. Aは2桁の自然数で、十の位の数は一の位の数より大きく、一の位の数は0でない。
Aの十の位の数と一の位の数を入れ替えた2桁の自然数をBとします。
(A-B+9) が整数となるような自然数Aの個数を求めてください。
(都立西日比谷高)
3. 1/m+1/n=1/7 を満たす自然数 m、n (m<n)を求めてください。
(慶應義塾志木高)
4. m、nは3桁の自然数で、2019+m2=n2 を満たしています。m、nの値をそれぞれ求めてください。
(西大和学園高)
5. 3x+7y+4z=24 を満たす自然数x、y、zの組をすべて求めてください。
(ラ・サール高)
答 え










答 え
1.
 (2018+a)=b2  両辺を2乗する。
 2018+a=2b2
 a=2b2-2018 …
 a≧1 から、2b2-2018≧1
 b2≧2019/2=1009.5
 b2≧1010
 ここで、312=961 322=1024 から、
 b2≧322
 ,ら、b2が最小のとき、aが最小になる。
 a=2b2-2018=2048-2018=30 ・・・(答)
2.
 A=10m+n とおける(m,n:自然数、1≦m,n≦9)。
 m>n
 B=10n+m
 (A-B+9)=10(m-n)+n-m+9=9(m-n+1) から、
 (A-B+9)=3(m-n+1)
 m-n+1 は平方数である。m>n から、
 2≦m-n+1≦9
 m-n+1=4,9 これを満たす(m,n)は、´△両豺腓任△襦
m-n=3:
 (m,n)=(9,6),(8,5),(7,4),(6,3),(5,2),(4,1)
m-n=8:
 (m,n)=(9,1)
 ´△鮃腓錣擦董7個・・・(答)
3.
 1/m+1/n=1/7  7mnをかける。
 7n+7m=mn
 mn-7m-7n=0  mでまとめる。
 m(n-7)-7(n-7)=49  (n-7)でまとめる。
 (m-7)(n-7)=49
 m<n から、(m-7)<(n-7)
 (m-7)と(n-7)は自然数なので、
 (m-7,n-7)=(1,49)
 (m,n)=(8,56) ・・・(答)
4.
 2019+m2=n2 和と差の積にする。
 (n+m)(n-m)=2019=1×2019=3×673
 m+n>m-n から、´△両豺腓ある。
n+m=2019 n-m=1
 2式の和から、2n=2020 n=1010 (4桁で不適)
n+m=673 n-m=3
 2式の和から、2n=676 n=338
 2式の差から、2m=670 m=335
(答) m==335, n=338
(参考) 673は素数か?
252=625<673<262=676
673が素数でないとすると、25以下の約数をもつ。
673を素数 2,3,5,7,13,17,23 で割ってみる。
 673/2, 673/3, 673/5, …, 673/23
すべて、割り切れない。
約数がないので、673は素数である。
5.
 3x+7y+4z=24
 3x+7y=4(6-z)  x,yは自然数から、
 4(6-z)≧3+7=10
 6-z≧10/4
 z≦6-2.5=3.5  zは自然数から、
 1≦z≦3  ´↓の場合がある。
z=1 のとき、
 3x+7y=20
 7y=20-3x≧7
 x≦13/3=4.…
 1≦x≦4
  x=1: y=(20-3x)/7≠自然数
  x=2: y=(20-3x)/7=2
  x=3: y=(20-3x)/7≠自然数
  x=4: y=(20-3x)/7≠自然数
z=2 のとき、
 3x+7y=16
 7y=16-3x≧7
 x≦3
 1≦x≦3
  x=1: y=(16-3x)/7≠自然数
  x=2: y=(16-3x)/7≠自然数
  x=3: y=(16-3x)/7=1
z=3 のとき、
 3x+7y=12
 7y=12-3x≧7
 x≦5/3=1.…
 x=1: y=(12-3x)/7≠自然数
(答) (x,y,z)=(2,2,1),(3.1,2)

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