中学から数学だいすき!

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関数_速さの変化

関数 目次 >

 速さが変化する関係を、4つの事例で確かめましょう。
 ・一定の速さで進む
 ・ボールが落下する
 ・列車がが加速する
 ・車が減速して止まる

 変化の割合は2点間の傾きです。関数 y=ax+b で、aが一定のとき、変化の割合も一定です。一方、関数 y=ax2 では、xの区間によって、変化の割合は異なります。

y=x2 で、xがx1からx2
増加するとき、
変化の割合 R=x1+x2
0≦x≦1:R=0+1=1
1≦x≦2:R=1+2=3
2≦x≦3:R=2+3=5

 次の1〜4の例で、時間がx1からx2のときの平均の速さ(=変化の割合)と、時間がxのときの瞬間の速さを求めてみましょう。

例1 一定の速さで進む
 毎秒amの等速で、x秒後に進む距離ymは、y=ax となる。
 平均の速さ=(ax2-ax1)/(x2-x1)=a
 xの値によらず、速さは一定なので、瞬間の速さもaで一定。

例2 ボールが落下する
 ボールが落下してからx秒後の落下距離がymのとき、y=4.9x2 となる。
 平均の速さ=(4.9x12-4.9x12)/(x2-x1)=4.9(x2+x1)
 瞬間の速さ=4.9(x+x)=9.8x

関数_平均の速さと瞬間の速さ.gif 平均の速さは2点間を結ぶ直線の傾きで、瞬間の速さは接線の傾きになる。

例3 列車が加速し一定の速さになる
 列車が走り出し、x秒後にym進むとき、
 0≦x≦20 では、y=x2/2 で進み、
 20≦x では、一定の速さになった。このときの、yとxの関係を式で表す。
x≦20 のとき、y=x2/2
 平均の速さ=(x22/2+x12/2)/(x2-x1)=(x2+x1)/2
 瞬間の速さ=(x+x)/2=x
 x=20 のとき、y=(1/2)x2=200
20≦x のとき、
 瞬間の速さ=x=20=一定 から、
 y=20x+b とおける。
 (x,y)=(20,200) を代入する。
 200=400+b
 b=-200
 よって、y=20x-200

例4 車が減速して止まる
 時速xkmで走っている車がブレーキを踏んだとき、ブレーキが効くまでに進む空走距離ymは、y=ax で表される。
 ブレーキが効き始めて止まるまでの制動距離ymは、y=bx2 で表される。
 ブレーキを踏んでから止まるまでの停止距離は、y=ax+bx2 となる。
空走距離
y=ax
制動距離
y=bx
2
停止距離
y=ax+bx
2
ブレーキ効かず ブレーキが効く 車が止まるまで
a=7/25、b=3/400 のとき、時速100劼覗っている車の停止距離は、
 (7/25)×100+(3/400)×10000
=28+75=103(m)
制動距離を30mにするには車の速さは、
 (3/400)x2=30
 x2=12000/3=4000
 x>0 から、x=4000=2010≒63.2 (km/時)
制動距離が30mのとき、空走距離は、
 y=(7/25)x=(7/25)×2010=2810/5≒17.7 (m)
↓から、時速63.2 (km/時)のとき、停止距離は、
 y=17.7+30=47.7 (m)

練習
 次の説明を読み、xとyの関係を表すグラフを選んでください。
1. 平均の時速4劼2時間歩き、そこから自転車に乗って平均の時速12劼膿覆鵑澄J發始めてからx時間後の進んだ距離をykmとする。
2. ボールが落下すると、x秒後のボールの落下距離は 4.9x2m となる、10mの高さからボールが落下すると、x秒後のボールの高さをymとする。
3. 時速x劼覗る車の停止距離ymは、空走距離(7/20)xと、制動距離(3/400)x2 の和になる。
4. 車が時速60劼x分走ったときの距離をykmとする。
5. 列車が走り出し、x秒後にym進むとき、
0≦x≦20 では、y=x2/2 で進み、
20≦x では、一定の速さになった。

A B
関数_速さ_列車.gif 関数_速さ_等速自動車.gif
C D
関数_速さ_落下.gif 関数_速さ_ブレーキ.gif
E
関数_速さ_徒歩自転車.gif

答 え










答 え

1. E 徒歩から自転車
2. C 落下ボールの高さ
3. D 自動車の減速と停止
4. B 自動車の等速走行
5. A 列車の加速と等速

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