中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
<< September 2020 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 >>
<< 関数_速さの変化 | 最新へ | 関数_数列の和 >>

関数_規則性の変化

関数 目次 >

 変化の割合を使って、図形や数字の規則性を式で表してみましょう。

例題1
 下の図のように、レンガが積まれています。x段目に並ぶレンガの数をyとします。yをxの式で表してください。

 関数_規則性_3+5+7+.gif
 xとyの関係を表にします。
x 1 2 3 4
y 3 5 7 9 1次関数
y' 2 2 2 定数
 y'は、yの変化の割合です。xは1ずつ増加し、y'は、yの右隣との差だからです。
  y'=2
 変化の割合が定数になるのは、yが1次関数の場合です。
 なぜなら、y=ax+b とおくと、
  y'={a(x+1)+b-(ax+b)}/(x+1-x)=a=定数 になるからです。
 (x,y)=(1,3),(2,5) から、a,bを求めます。
  3=a+b  …
  5=2a+b …
 bを消去
  - 2=a
   b=3-a=3-2=1
 よって、y=2x+1 ・・・(答)
関数_規則性_y=2x+1.gif y=2x+1 (1≦x) の変化の割合は2で、直線の傾きになる。
xが1増加するとyは2増加する。

例題2
 下の図のように、タイルを並べていきます。x番目のタイルの数をyとします。yをxの式で表してください。
 関数_規則性_1+2+3+.gif
 xとyの関係を表にします。
x 1 2 3 4 5
y 1 3 6 10 15 2次関数
y' 2 3 4 5 1次関数
y" 1 1 1 定数

 表のy'は、yの右隣との差で、yの変化の割合です。なぜなら、x から x+1 に1増加すると、yは右隣との差で増加するからです。
 y'=yの右隣との差/(x+1-x)=yの変化の割合
同様に、
 y"=y'の右隣との差/(x+1-x)=y'の変化の割合
 ここで、yを2次関数 y=ax2+bx+c とします。
 y'={a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)}/(x+1-x)
  =2ax+a+b …1次関数
 y"={2a(x+1)+a+b-(2ax+a+b)}/(x+1-x)
  =2a …定数
 yは2次関数なので、y=ax2+bx+c とおけます。
 (x,y)=(1,1),(2,3),(3,6)を代入する。
  1=a+b+c  …
  3=4a+2b+c …
  6=9a+3b+c …
 - 2=3a+b …
 -◆3=5a+b …
 -ぁ1=2a a=1/2
 ぁb=2-3a=2-3/2=1/2
  c=1-(a+b)=0
 よって、y=x2/2+x/2=x(x+1)/2 ・・・(答)

 y=x(x+1)/2 のグラフは放物線で、x=-1,0 でx軸と交わります。各変化の割合は赤い直線の傾きで表され、y'=2,3,4,… となっています。

 関数_規則性の変化_2次関数.gif

 例題1、例題2の手順をまとめます。
(x,y)の表をつくる。
yの差を求める。y'、y"、…
差が定数になるまでy'、y"、… を求める。
定数の上は1次関数、その上は2次関数、… になる。
yが2次関数なら、y=ax2+bx+c とおく。
表の(x,y)の値を代入し、連立方程式にする。
a,b,c を解き、yの式にあてはめる。

練習
 凹凸の形をしたブロック玩具があります。ブロックの個数を1回目、2回目、3回目 … と増やしていきます。x回目のブロックの数をyとするとき、各問題について、yをxの式で表してください。
1.
x 1 2 3 4 5
y 4 9 14 19 24
2.
x 1 2 3 4 5
y 2 5 10 17 26
3.
x 1 2 3 4 5
y 2 6 12 20 30
4. 下図のように、ブロックを組み立てていきます。
関数_規則性の変化_3次関数.gif

答 え










答 え
1.
x 1 2 3 4 5
y 4 9 14 19 24 1次関数
y' 5 5 5 5 5 定数
 yは1次関数なので、y=ax+b とおく。
 (1,4),(2,9)を代入する。
  4=a+b  …
  9=2a+b  …
 bを消去
  - 5=a
   b=4-a=4-5=-1
 よって、y=5x-1 ・・・(答)
2.
x 1 2 3 4 5
y 2 5 10 17 26 2次関数
y' 3 5 7 9 1次関数
y" 2 2 2 定数
 yは2次関数なので、y=ax2+bx+c とおく。
 (1,2),(2,5),(3,10)を代入する。
  2=a+b+c  …
  5=4a+2b+c …
  10=9a+3b+c …
 cを消去
  - 3=3a+b …
  -◆5=5a+b …
 bを消去
  -ぁ2=2a a=1
  ぁb=3-3a=3-3=0
   c=2-a-b=2-1=1
 よって、y=x2+1 ・・・(答)
3.
x 1 2 3 4 5
y 2 6 12 20 30 2次関数
y' 4 6 8 10 1次関数
y" 2 2 2 定数
 yは2次関数なので、y=ax2+bx+c とおく。
 (1,2),(2,6),(3,12)を代入する。
  2=a+b+c  …
  6=4a+2b+c …
  12=9a+3b+c …
 cを消去
  - 4=3a+b …
  -◆6=5a+b …
 bを消去
  -ぁ2=2a a=1
  ぁb=4-3a=4-3=1
   c=2-a-b=2-1-1=0
 よって、y=x2+x=x(x+1) ・・・(答)
4.

x 1 2 3 4 5
y 1 5 14 30 55 3次関数
y' 4 9 16 25 2次関数
y" 5 7 9 1次関数
y"' 2 2 定数
 yは3次関数として、y=ax3+bx2+cx+d とおく。
 (1,1),(2,5),(3,14),(4,30)を代入する。
  1=a+b+c+d   …
  5=8a+4b+2c+d  …
  14=27a+9b+3c+d …
  30=64a+16b+4c+d …
 dを消去
  - 4=7a+3b+c  …
  -◆9=19a+5b+c …
  -:16=37a+7b+c …
 cを消去
  -ァ5=12a+2b …
  -Α7=18a+2b …
 bを消去
  -─2=6a a=1/3
  ─b=(5-12a)/2=(5-4)/2=1/2
  ァc=4-(7a+3b)=4-7/3-3/2=4-23/6=1/6
   d=1-(a+b+c)=1-(1/3+1/2+1/6)=1-6/6=0
 よって、
  y=x3/3+x2/2+x/6=x(x+1)(2x+1)/6
 ここで、
 y"'=2 が少ないので、(5,55)でyの式を検証する。
  y=5(5+1)(10+1)/6=55 となり、正しい。
(答) y=x(x+1)(2x+1)/6

JUGEMテーマ:学問・学校

- | 中学から数学だいすき! 目次 | comments(0) | - | permalink

この記事に対するコメント

コメントする