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関数_数列の和


 規則的な数の並びを数列といいます。前回、変化の割合を使って、規則性の図1、図2から数列の和を求めることができました(xは自然数)。図3の3乗の和は、この記事の(参考)で確かめてください。
図1: 1+2+3+…+x=x(x+1)/2 例題2
図2: 12+22+32+…+x2=x(x+1)(2x+1)/6 練習4
図3: 13+23+33+…+x3={x(x+1)/2}2 (参考)

 関数_n乗の和.gif

 練習問題で、偶数の和、奇数の和の関数を求めてみましょう。また、1+2+3+…+x=n(n+1)/2 を使って対角線の数を求めてみましょう。

練習
1. 次の図は、x段目までのレンガの数 y=2+4+6+… を表しています。yをxの式で表してください。
 関数_規則性_2+4+6+.gif
2. 次の図は、x段目目までのレンガの数 y=1+3+5+… を表しています。yをxの式で表してください。
 関数_規則性_1+3+5+.gif
3. 正八角形の例をもとに、正n角形の対角線の数を求めてください。
 八角形の辺と対角線の総数は、AからHまで、重ならないように数えた和で求めることができます。Aは7本、Bは6本、C は5本、…、Gは1本なので、辺と対角線の総数は、1+2+3+…+n=n(n+1)/2 から、
 7+6+5+・・・+2+1=7(7+1)/2=28 (本)
   多角形の対角線数
答 え










答 え
1.
x 1 2 3 4 5
y 2 2+4
=6
6+6
=12
12+8
=20
20+10
=30
2次関数
y' 4 6 8 10 1次関数
y" 2 2 2 定数
 yは2次関数なので、y=ax2+bx+c とおく。
 (1,2),(2,6),(3,12)を代入する。
  2=a+b+c  …
  6=4a+2b+c …
  12=9a+3b+c …
 cを消去
  - 4=3a+b …
  -◆6=5a+b …
 bを消去
  -ぁ2=2a a=1
  ぁb=4-3a=4-3=1
   c=2-(a+b)=2-2=0
 よって、y=x2+x=x(x+1) ・・・(答)
2.
x 1 2 3 4 5
y 1 1+3
=4
4+5
=9
9+7
=16
16+9
=25
2次関数
y' 3 5 7 9 1次関数
y" 2 2 2 定数
(解答)
 yはxの2乗になっているので、y=x2 ・・・(答)
(別解)   
 yは2次関数なので、y=ax2+bx+c とおく。
 (1,1),(2,4),(3,9)を代入する。
  1=a+b+c  …
  4=4a+2b+c …
  9=9a+3b+c …
 cを消去
  - 3=3a+b …
  -◆5=5a+b …
 bを消去
  -ぁ2=2a a=1
  ぁb=3-3a=3-3=0
   c=1-(a+b)=1-1=0
 よって、y=x2 ・・・(答)
3.
正n角形の辺と対角線の総数は、
 総数=(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+2+1
   =1+2+3+…+(n-2)+(n-1)
 1+2+3+…+n=n(n+1)/2 から、
  総数=(n-1)n/2
 対角線の数=総数-辺の数 から、
  対角線の数=(n-1)n/2-n
       =(n2-n)/2-n
       =n(n-3)/2 (本) ・・・(答)


(参考) 3乗の和
 13+23+33+… の式を図3の規則性から求めてみましょう。

x 1 2 3 4 5 6
y 1 1+23
=9
9+33
=36
36+43
=100
100+53
=225
225+63
=441
4次関数
y' 8 27 64 125 216 3次関数
y" 19 37 61 91 2次関数
y"' 18 24 30 1次関数
y"" 6 6 定数
 yは4次関数として、y=ax4+bx3+cx2+dx+e とおく。
 (1,1),(2,9),(3,36),(4,100),(5,225)を代入する。
  1=a+b+c+d+e      …
  9=16a+8b+4c+2d+e    …
  36=81a+27b+9c+3d+e   …
 100=256a+64b+16c+4d+e  …
 225=6256a+125b+25c+5d+e …
 eを消去
  - А8=15a+7b+3c+d  …
  -◆ 27=65a+19b+5c+d …
  -: 64=175a+37b+7c+d …
  -ぁ125=369a+61b+9c+d …
 dを消去
  -ァ19=50a+12b+2c  …
  -Α37=110a+18b+2c …
  -А61=194a+24b+2c …
 cを消去
  -:18=60a+6b …
  -:24=84a+6b …
 bを消去
  -:6=24a a=1/4
  :b=(18-60a)/6=3/6=1/2
  :2c=19-(50a+12b)=19-(25/2+6)=1/2
    c=1/4
  ァd=8-(15a+7b+3c)=8-(15/4+7/2+3/4)
     =8-32/4=0
   e=1-(a+b+c+d)=1-(1/4+1/2+1/4)=0
 a=1/4,b=1/2,c=1/4,d=0,e=0 から、
  y=x4/4+x3/2+x2/4=(x2/4)(x2+2x+1)
   =(x2/4)(x+1)2
   ={x(x+1)/2}2
 この式を、(6,441)で検証する。
 y={6(6+1)/2}2=212=441 で正しい。
 よって、
  y=13+23+33+…+x3={x(x+1)/2}2 ・・・(答)

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