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関数_円錐の体積

関数 目次 >

 数列の和を使って円錐の体積を求めてみましょう。

 これから、底面の半径がr、高さhの円錐の体積を求めます。中央の図は、円錐の断面の右半分で、高さhをn等分して横に輪切りしたものです。右の図は、断面をで近似しています。1個の高さはh/nなので、横幅はr/nです。

 関数_円錐の体積.gif
 1段目、2段目、3段目、… の各円柱の体積を求めます。

n段目 1 2 3 n
円柱の半径 r/n 2r/n 3r/n nr/n
円柱の高さ h/n h/n h/n h/n
円柱の体積 π(1r)2h/n3 π(2r)2h/n3 π(3r)2h/n3 π(nr)2h/n3

 円錐の体積Vを、各円柱の体積の和とすると、
  V≒πr2h(1/n3)(12+22+32+…+n2)
 12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 から、
  V≒πr2h(1/n3)(12+22+32+…+n2)
  V≒πr2h(1/n2)(n+1)(2n+1)/6  1/n2 をかける。
   =πr2h(1+1/n)(2+1/n)/6
 nを非常に大きくすると、1/n は0に近づくので、
  V=πr2h(1+0)(2+0)/6
   =πr2h/3  円錐の体積が求まりました。

(参考) 数列の和とグラフ
 これまでに出てきた数列の和のグラフを示します(xは自然数)。
1+2+3+…+x=x(x+1)/2 2次関数
2+4+6+…+2x=x(x+1) 2次関数
1+3+5+…+2x-1=x2 2次関数
12+22+32+…+x2=x(x+1)(2x+1)/6 3次関数
13+23+33+…+x3={x(x+1)/2}2 4次関数

関数のグラフ3.gif

 三角形に関連する練習問題を解いてみましょう。

練習

1. 下の図のように、白と黒のタイルを並べていきます。
 規則性4_三角のタイル
(1) 下の表は、1番目、2番目、3番目、… の白と黒のタイルの枚数をまとめたものです。アとイにあてはまる数を求めてください。
1 2 3 4 7 n
白のタイル 1 3 6 10
黒のタイル 0 1 3 6
タイル合計 1 4 9 16
(2) n番目の黒いタイルの数を a 枚とするとき、a を n の式で表してください。
(埼玉県高)
2. 下の図は、自然数をある規則に従って書き並べたものです。
 関数_三角形の数字.gif
図の中の関数_三角形の数字13.gifのように、上下に隣り合う自然数の組関数_三角形の数字ab.gifについて、次の問いに答えてください。
(1) ab=875 となるa、bをそれぞれ求めてください。
(2) aが8段目にあるとき、ab=3780 となるa、bをそれぞれ求めてください。
(立教新座高)
答 え










答 え
1.
(1)
 x番目のタイルの合計は、x2になっている。
 白の数の式を求める。
1 2 3 4 7
1 3 6 10 2次関数
白の差1 2 3 4 1次関数
白の差2 1 1 定数
0 1 3 6
合計 1 4 9 16
 x番目の白タイルの数yは、2次関数とみなせるので、
 y=ax2+bx+c とおく。
 (1,1),(2,3),(3,6)を代入する。
  1=a+b+c  …
  3=4a+2b+c …
  6=9a+3b+c …
 cを消去
  - 2=3a+b …
  -◆3=5a+b …
 bを消去
  -ぁ1=2a a=1/2
  ぁb=2-3a=2-3/2=1/2
   c=1-(a+b)=1-1=0
 よって、y=x2/2+x/2=x(x+1)/2
 この式を(4,10)で検証する。
  y=4(4+1)/2=10 で、式は正しい。
 x=7 のとき、x(x+1)/2=7(7+1)/2=28 ・・・(ア)
 x番目の黒の数は、合計-白の数 から、
  x2-x(x+1)/2=(2x2-x2-x)/2=x(x-1)/2
 x=7 のとき、x(x-1)/2=7(7-1)/2=21 ・・・(イ)
(2)
 n番目の黒の数aは、a=n(n-1)/2 ・・・(答)
2.
(1)
 875=5×5×5×7=5×175=7×125=25×35
 三角形の右端の数は、x段目が x2 になっている。
 25=52 から、5段目の右端は25
 6段目の右端は、62=36 なので、36の左隣りは35
 25の下が35なので、
 a=25, b=35 ・・・(答)
(2)
 8段目と9段目の左端・右端の数を求める。
  8段目の右端=82=64
  8段目の左端=7段目の右端+1=49+1=50
  9段目の右端=92=81
  9段目の左端=8段目の右端+1=64+1=65
 整理すると、
  8段目   50 51 52 … 64
  9段目 65 66 67 68… 80 81
 ab=3780(偶数)で、縦の並びなので、(a,b)の候補は、
  (50,66) (52,68) (54,70) …
 54×70=3780 から、
  a=54, b=70 ・・・(答)

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