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関数_自己相似

関数 目次 >

 自己相似な図形の規則性を関数で表してみましょう。全体と部分が相似であることを自己相似といます。また、自己相似な図形をフラクタルといいます。

例題
 美紀さんは、円をかいて下図のような模様を作っています。
(1) x回目の円の個数をyとして、yをxの式で表してください。
(2) 円の数が255個になるのは何回目ですか。

 自己相似

(1)
 xとyの関係を表にします。
x回目 1 2 3 4 5
y個 1 1+2
=3
3+22
=7
7+23
=15
15+24
=31
yの差1 2 4 8 16 @ @
yの差2 2 4 8 @ @ @
 yの差は、増加していて定数にならない。したがって、yは1次関数や2次関数ではない。そこで、xに対するyの式を順に求める。
 x=1:y=1
 x=2:y=1+21
 x=3:y=1+21+22
 x=4:y=1+21+22+23
  :
 x=x: y=1+21+22+23+…+2x-1  …
 2:2y=21+22+23+…+2x-1+2x …
- y=2x-1 ・・・(答)
(2)
 y=2x-1=255
 2x=256
 28=256 から、
 x=8 (回目) ・・・(答)

(参考) 指数関数 y=2x-1 のグラフ
 y=2x のように、指数xで表される関数を指数関数といいます。y=2x-1 は、y=2x のグラフを下に1移動したものです。なお「指数関数的な増加」は、急激な増加を表します。

 関数_ミキ.gif

練習
1. 下の図は、文字Eを使って自己相似な図形を作る過程を表しています。
(1) x回目のEの個数をyとして、yをxの式で表してください。
(2) Eの数が364個になるのは何回目ですか。

 関数_自己相似E.gif

2.  しんじさんは最初に、図1のように3つの白い正三角形と1つの黒い正三角形を組み合わせた模様をかきました。その後、以下に示す作業を何回かくり返して規則的な模様をつくりました。
〔作業〕
手順 白い三角形をすべて見つける。
手順 手順,埜つけたそれぞれの白い正三角形について、3辺の中点を結んで新たに4つの合同な正三角形をつくる。
手順 手順△任弔られた正三角形のうち、最初にかいた黒い正三角形と同じ向きの正三角形をすべて黒く塗りつぶす。

 フラクタル

(1) n 回目の作業後、黒い正三角形は全部で何個ありますか。
(2) 黒い正三角形が全部で364個になるのは、何回目の作業後ですか。
(3) 4回目の作業後、黒い正三角形のなかで最も小さな正三角形の面積を1cm2とします。すべての黒い正三角形の面積の和を求めてください。
(岩手県高 改題)
答 え










答 え
1.
(1)
 xとyの関係を表にします。
x回目 1 2 3 4 5
y 1 1+3
=4
4+32
=13
13+33
=40
40+34
=121
yの差1 3 9 27 81 @ @
yの差2 6 18 54 @ @ @
 yの差は、増加していて定数にならない。したがって、yは1次関数や2次関数ではない。
 xに対するyの式を順に求める。
 x=1:y=1
 x=2:y=1+31
 x=3:y=1+31+32
 x=4:y=1+31+32+33
  :
 x=x: y=1+31+32+33+…+3x-1  …
 3:3y=31+32+33+…+3x-1+3x …
- 2y=3x-1
   y=(3x-1)/2 ・・・(答)
(2)
 y=(=3x-1)/2=364
 3x=729
 34=81、35=81=243、36=729 から、
 x=6 (回目) ・・・(答)
2.
(1)
 シェルピンスキーの三角形
 x回目の作業後の黒い三角形の個数をyとする。yの差は定数にならないので、1次関数や2次関数ではない。
x回目 1 2 3 4
y個 4 13 40 121
yの差1 9 27 81 @ @
yの差2 18 54 @ @ @
 xに対するyの式を順に求める。
 x=1: y=1+3=1+31
 x=2: y=1+3(1+3)=1+31+32
 x=3: y=1+3{1+3(1+3)}=1+31+32+33
  :
 x=x: y=1+31+32+33+…+3x   …
×3: 3y=31+32+33+…+3x+3x+1 …
-: 2y=3x+1-1
    y=(3x+1-1)/2 (個) ・・・(答)
(2)
 y=(3x+1-1)/2 =364
  3x+1=729  3でわると、
  3x=243=81×3=34×3=35
  x=5 (回目) ・・・(答)
(3)
 y=1+3+32+33+34
  =34+33+32+3+1
 相似比は小さいほうから、1:2:4:8:16 なので、
 面積比は、
 1:22:42:82:162=1:4:16:64:256
 面積の和をSとすると、
 S=1×34+4×33+16×32+64×3+256×1
  =81+4×27+16×9+64×3+256
  =81+108+144+192+256
  =781 (cm2) ・・・(答)

(参考) 例題、練習のグラフ
例題 y=1+21+22+23+…+2x-1=2x-1
練習1 y=1+31+32+33+…+3x-1=y=(3x-1)/2
練習2 y=1+31+32+33+…+3x=(3x+1-1)/2

 関数_ミキ三角形E.gif

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