中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
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証明の原理

 証明は、判断を書いた文が正しい(または誤りである)ことを推論の法則にしたがって導き出すことです。たとえば、「1辺の長さがxの立方体の表面積yは、y=6x2である」という判断文があります。「である」と書かれていますね。この判断文(命題といいます)が正しいことを証明してみましょう。

命題・前提・証明
 証明には、「正方形の面積は、x2である」という前提と、「立方体の表面は、6つの正方形からできている」という前提が必要です。すると、つぎのように証明できます。

命題
 1辺の長さがxの立方体の表面積yは、y=6x2 である。
証明
 正方形の面積は、x2である。・・・
 立方体の表面は、6つの正方形からできている。・・・
 したがって、立方体の表面積yは、y=(x2)×6=6x2 である。

 証明によって、問い(判断は正しいか)、理由(このようにすると)、答え(判断は正しい)を示しています。理由から答えは、推論の法則によって導きます。

推論の法則
 推論は論を推し進めることです。前提,鉢△ら、 y=(x2)×6 が導き出されます。y=(x2)×6 から、y=6x2 が導き出されます。

 導き出されることを「→」(ならば)で表すと、
 ,猫 → y=(x2)×6 → y=6x2 になります。

 一般化すると、「A→B→C ∴(ゆえに) A→C」の形式になっています。この推論方法を、移行の法則(または三段論法)といいます。推論方法には、このほかに個別化の原理、消去法、背理法などがあります。

練習
 (   )内は、命題、前提、推論(移行の法則)のどれですか?
1.
 クワガタは昆虫だよ。(   )
 だって、クワガタには足が6本あるよね。(   )
 足が6本ある虫は昆虫だよね。(   )
 クワガタには足が6本あって、足が6本ある虫は昆虫だから、クワガタは昆虫だよ。(   )

2.
 1=0.999・・・ である。(   )
証明
 1/3=0.333・・・ である。(   )
 等式の両辺に同じ数をかけても等式は成り立つ。(   )
 両辺に3をかけると、1=0.999・・・ になる。(   )

3.
 Pを円周率、Rを半径とすると、円の面積Sは、S=PR2 である。(   )
証明
 円周は2PRである。(   )
 円の中心と、円周上の2点(距離は1)で極小の三角形をつくる。(   )
 高さR、底辺1の極小三角形の面積は、底辺×高さ/2=R/2 になる。(   )
 極小三角形は円周の個数あるので、S=R/2×2PR=PR2 である。(   )



 答 え











答え
1.
 クワガタは昆虫だよ。(命題)
 だって、クワガタには足が6本あるよね。(前提)
 足が6本ある虫は昆虫だよね。(前提)
 クワガタには足が6本あって、足が6本ある虫は昆虫だから、クワガタは昆虫だよ。(推論)

2.
 1=0.999・・・ である。(命題)
証明
 1/3=0.333・・・ である。(前提)
 等式の両辺に同じ数をかけても等式は成り立つ。(前提)
 両辺3をかけると、1=0.999・・・ になる。(推論)

3.
 Pを円周率、Rを半径とすると、円の面積Sは、S=PR2 である。(命題)
証明
 円周は2PRである。(前提)
 円の中心と、円周上の2点(距離は1)で極小の三角形をつくる。(前提)
 高さR、底辺1の極小三角形の面積は、底辺×高さ/2=R/2 になる。(推論)
 極小三角形は円周の個数あるので、S=R/2×2PR=PR2 である。(推論)


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