証明の原理
証明は、判断を書いた文が正しい（または誤りである）ことを推論の法則にしたがって導き出すことです。たとえば、「１辺の長さがｘの立方体の表面積ｙは、ｙ＝６ｘ2である」という判断文があります。「である」と書かれていますね。この判断文（命題といいます）が正しいことを証明してみましょう。
命題・前提･証明
証明には、「正方形の面積は、ｘ2である」という前提と、「立方体の表面は、６つの正方形からできている」という前提が必要です。すると、つぎのように証明できます。
命題
１辺の長さがｘの立方体の表面積ｙは、ｙ＝６ｘ2 である。
証明
正方形の面積は、ｘ2である。・・・��
立方体の表面は、６つの正方形からできている。・・・��
したがって、立方体の表面積ｙは、ｙ＝（ｘ2）×６＝６ｘ2 である。
証明によって、問い（判断は正しいか）、理由（このようにすると）、答え（判断は正しい）を示しています。理由から答えは、推論の法則によって導きます。
推論の法則
推論は論を推し進めることです。前提�，鉢△�ら、 ｙ＝（ｘ2）×６ が導き出されます。ｙ＝（ｘ2）×６ から、ｙ＝６ｘ2 が導き出されます。
導き出されることを「→」（ならば）で表すと、
�，猫� → ｙ＝（ｘ2）×６ → ｙ＝６ｘ2 になります。
一般化すると、「A→B→C ∴（ゆえに） A→C」の形式になっています。この推論方法を、移行の法則（または三段論法）といいます。推論方法には、このほかに個別化の原理、消去法、背理法などがあります。
練習
（ ）内は、命題、前提、推論（移行の法則）のどれですか？
１．
クワガタは昆虫だよ。（ ）
だって、クワガタには足が６本あるよね。（ ）
足が６本ある虫は昆虫だよね。（ ）
クワガタには足が６本あって、足が６本ある虫は昆虫だから、クワガタは昆虫だよ。（ ）
２．
１＝０．９９９・・・ である。（ ）
証明
１／３＝０．３３３・・・ である。( ）
等式の両辺に同じ数をかけても等式は成り立つ。（ ）
両辺に３をかけると、１＝０．９９９・・・ になる。（ ）
３．
Pを円周率、Rを半径とすると、円の面積Sは、S＝PR2 である。（ ）
証明
円周は２PRである。（ ）
円の中心と、円周上の２点（距離は１）で極小の三角形をつくる。（ )
高さR、底辺１の極小三角形の面積は、底辺×高さ／２＝R／２ になる。( )
極小三角形は円周の個数あるので、S＝R／２×２PR＝PR2 である。( ）
答 え
答え
１．
クワガタは昆虫だよ。（命題）
だって、クワガタには足が６本あるよね。（前提）
足が６本ある虫は昆虫だよね。（前提）
クワガタには足が６本あって、足が６本ある虫は昆虫だから、クワガタは昆虫だよ。（推論）
２．
１＝０．９９９・・・ である。（命題）
証明
１／３＝０．３３３・・・ である。(前提）
等式の両辺に同じ数をかけても等式は成り立つ。（前提）
両辺３をかけると、１＝０．９９９・・・ になる。（推論）
３．
Pを円周率、Rを半径とすると、円の面積Sは、S＝PR2 である。（命題）
証明
円周は２PRである。（前提）
円の中心と、円周上の２点（距離は１）で極小の三角形をつくる。（前提)
高さR、底辺１の極小三角形の面積は、底辺×高さ／２＝R／２ になる。(推論)
極小三角形は円周の個数あるので、S＝R／２×２PR＝PR2 である。(推論）
命題・前提･証明
証明には、「正方形の面積は、ｘ2である」という前提と、「立方体の表面は、６つの正方形からできている」という前提が必要です。すると、つぎのように証明できます。
命題
１辺の長さがｘの立方体の表面積ｙは、ｙ＝６ｘ2 である。
証明
正方形の面積は、ｘ2である。・・・��
立方体の表面は、６つの正方形からできている。・・・��
したがって、立方体の表面積ｙは、ｙ＝（ｘ2）×６＝６ｘ2 である。
証明によって、問い（判断は正しいか）、理由（このようにすると）、答え（判断は正しい）を示しています。理由から答えは、推論の法則によって導きます。
推論の法則
推論は論を推し進めることです。前提�，鉢△�ら、 ｙ＝（ｘ2）×６ が導き出されます。ｙ＝（ｘ2）×６ から、ｙ＝６ｘ2 が導き出されます。
導き出されることを「→」（ならば）で表すと、
�，猫� → ｙ＝（ｘ2）×６ → ｙ＝６ｘ2 になります。
一般化すると、「A→B→C ∴（ゆえに） A→C」の形式になっています。この推論方法を、移行の法則（または三段論法）といいます。推論方法には、このほかに個別化の原理、消去法、背理法などがあります。
練習
（ ）内は、命題、前提、推論（移行の法則）のどれですか？
１．
クワガタは昆虫だよ。（ ）
だって、クワガタには足が６本あるよね。（ ）
足が６本ある虫は昆虫だよね。（ ）
クワガタには足が６本あって、足が６本ある虫は昆虫だから、クワガタは昆虫だよ。（ ）
２．
１＝０．９９９・・・ である。（ ）
証明
１／３＝０．３３３・・・ である。( ）
等式の両辺に同じ数をかけても等式は成り立つ。（ ）
両辺に３をかけると、１＝０．９９９・・・ になる。（ ）
３．
Pを円周率、Rを半径とすると、円の面積Sは、S＝PR2 である。（ ）
証明
円周は２PRである。（ ）
円の中心と、円周上の２点（距離は１）で極小の三角形をつくる。（ )
高さR、底辺１の極小三角形の面積は、底辺×高さ／２＝R／２ になる。( )
極小三角形は円周の個数あるので、S＝R／２×２PR＝PR2 である。( ）
答 え
答え
１．
クワガタは昆虫だよ。（命題）
だって、クワガタには足が６本あるよね。（前提）
足が６本ある虫は昆虫だよね。（前提）
クワガタには足が６本あって、足が６本ある虫は昆虫だから、クワガタは昆虫だよ。（推論）
２．
１＝０．９９９・・・ である。（命題）
証明
１／３＝０．３３３・・・ である。(前提）
等式の両辺に同じ数をかけても等式は成り立つ。（前提）
両辺３をかけると、１＝０．９９９・・・ になる。（推論）
３．
Pを円周率、Rを半径とすると、円の面積Sは、S＝PR2 である。（命題）
証明
円周は２PRである。（前提）
円の中心と、円周上の２点（距離は１）で極小の三角形をつくる。（前提)
高さR、底辺１の極小三角形の面積は、底辺×高さ／２＝R／２ になる。(推論)
極小三角形は円周の個数あるので、S＝R／２×２PR＝PR2 である。(推論）
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