中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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式の変形

 証明問題を練習してみましょう。102×98 は暗算できます。2乗の引き算でできるからです。
 102×98=1002−22=10000−4=9996 となります。

 一般化すると、(A+B)(A−B)=A2−B2 です。
たとえば、
 101×99=(100+1)×(100−1)=1002−1=9999 です。

 では、(A+B)(A−B)=A2−B2 を証明してみましょう。左辺を変形して右辺になれば、正しいことが証明できます。

(A+B)(A−B)=A2−B2 を証明する。
左辺=(A+B)(A−B)  A+B=C とすると、
   =C(A−B) 分配法則から、
   =CA−CB  Cをもどすと、
   =(A+B)A−(A+B)B 分配法則から、
   =AA+BA−AB−BB
   =A2−B2
   =右辺

 ここでの推論は、移行の法則が使われています。「→」(ならば)であらわすと、つぎのようになります。
 左辺=(A+B)(A−B) で A+B=C → 左辺=C(A−B) → 左辺=CA−CB → 左辺=(A+B)A−(A+B)B → 左辺=AA+BA−AB−BB → 左辺=A2−B2=右辺

 「→」が3つ以上ありますね。そのため、三段論法よりも、移行の法則のほうが適切な呼び名です。式の変形では、移行の法則の「→」が「=」(イコール)で表されています。

 数学の「=」は双方向で成り立ちます。A=B は、「A→B で B→A」の両方を表しています。たとえば、1+2=3 では、1+2は3と等しく、3は1+2と等しい。

 ところが国語(ことばの世界)では、A→B は、B→A と同じになるとはいえません。Aをカラスである、Bをトリである、とすると、「カラスである→トリである」は正しいですが、「トリである→カラスである」とは限りません。スズメかもしれないからです。


練習
1. つぎの「=」(同じ)は正しいですか、誤りですか。
 日本人=日本国籍をもつ人

2. (a+1)2 =a2 +2a+1 を証明してください。
 ヒント: (a+1)2 =(a+1)(a+1) なので、一方の(a+1)=A として式を変形する。

3. 252=2(2+1)×100+25=625 と計算できます。同様に、(n5)2 (n=1,2,3,・・・9)は、n(n+1)×100+25 で計算できることを証明してください。また、この関係を使って、852 を暗算してください。
 ヒント: (n5)2 は、(10n+5)2 のことです。

 答 え











答え
1.
 正しい。なぜなら、「日本人→日本国籍をもつ人」がいえて、「日本国籍をもつ人→日本人」がいえるので。
(参考)
 このように、双方向の「→」(ならば)が成り立つことを双条件といい、「⇔」「≡」(同じ)で表します。
   日本人⇔日本国籍をもつ人
 数学の「=」を使った式の変形は、双条件にもとづいています。

2.
(a+1)2 =a2 +2a+1 を証明する。
左辺=(a+1)2  a+1=A とおくと、
   =(a+1)A
   =aA+A  Aをもどして、
   =a(a+1)+a+1
   =a2 +a+a+1
   =a2 +2a+1
   =右辺

3.
(n5)2 は、(10n+5)2 のことなので、
(10n+5)2=n(n+1)×100+25 を証明する。
左辺=(10n+5)2  10n+5=N とおくと、
   =(10n+5)N
   =10nN+5N  Nをもどして、
   =10n(10n+5)+5(10n+5)
   =100n2+50n+50n+25
   =100n2+100n+25
   =n(n+1)×100+25
   =右辺

 852=8×9×100+25=7225


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