中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
<< November 2017 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 >>
<< 式の変形 | 最新へ | 背理法による証明 >>

法則・定理による証明

 数学の計算では、交換・結合・分配法則がもとになります。3つの法則を使って証明してみましょう。

 交換法則: A+B=B+A  AB=BA
 結合法則: (A+B)+C=A+(B+C)  (AB)C=A(BC)
 分配法則: A(B+C)=AB+AC

例1: 交換法則を使って、A+2=2+A を証明せよ。
証明
 A+B=B+A である。
 Bは任意の数なので、B=2 についてもいえる。
 よって、A+2=2+A である。

例2: 結合法則と分配法則から、(B+C)A=BA+CA を証明せよ。
証明
 左辺=(B+C)A とすると、交換法則から、
    =A(B+C)  分配法則から、
    =AB+AC   交換法則から、
    =BA+CA
    =右辺

 例1では、「A+B=B+A という法則があり、Bは任意の数なので、B=2 についてもいえる」としています。これは「普遍(すべて)にいえることは、個別にもいえる」という個別化の原理にしたがっています。

 例2では、「(B+C)Aを交換法則から、項を交換し、A(B+C)」としています。これは、XY=YXで、Xを(B+C)、YをAに置き換えたものです。このように、文字の置き換えは個別化の原理にしたがっているわけです。

 直角三角形の3辺の長さをA、B、C(斜辺)とすると、三平方の定理(ピタゴラスの定理)がなりたちます。
三平方の定理:
 直角三角形ならば A2+B2=C2 であり、A2+B2=C2 ならば、直角三角形である。
   直角三角形 ⇔ A2+B2=C2

例3: 3辺の長さが 3、4、5 の三角形は直角三角形であることを証明せよ。
証明
 32+42=9+16=25
 52=25
 よって、32+42=52 なので、三平方の定理から、直角三角形である。

 ここでも個別化の原理が使われています。「→」は「ならば」と読みます。
 普遍: A2+B2=C2 → 直角三角形
 個別: 32+42=52  → 直角三角形

練習
1. つぎの証明は、移行の法則によりますか、個別化の原理によりますか。

  足が6本ある虫を昆虫という。
  よって、足が6本あるカブトムシは昆虫である。

  カブトムシには足が6本ある。
  足が6本ある虫は昆虫である。
  よって、カブトムシは昆虫である。

2. 3辺の長さがが 5、12、13 の三角形は直角三角形であることを、三平方の定理を使って証明してください。


 答 え











答え
1.
 個別化の原理
 移行の法則(三段論法)

2.
 52+122132 であることを証明できると、三平方の定理から直角三角形であることがいえる。
 左辺=52+122=25+144=169
 右辺=132=169
 よって、左辺=右辺 となり、直角三角形である。


- | 中学から数学だいすき! 目次 | comments(0) | - | permalink

この記事に対するコメント

コメントする