中学から数学だいすき！

　数学の計算では、交換・結合・分配法則がもとになります。３つの法則を使って証明してみましょう。

　交換法則：　Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ　　ＡＢ＝ＢＡ
　結合法則：　（Ａ＋Ｂ）＋Ｃ＝Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）　　（ＡＢ）Ｃ＝Ａ（ＢＣ）
　分配法則：　Ａ（Ｂ＋Ｃ）＝ＡＢ＋ＡＣ

例１：　交換法則を使って、Ａ＋２＝２＋Ａ を証明せよ。
証明
　Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ である。
　Ｂは任意の数なので、Ｂ＝２ についてもいえる。
　よって、Ａ＋２＝２＋Ａ である。

例２：　結合法則と分配法則から、（Ｂ＋Ｃ）Ａ＝ＢＡ＋ＣＡ を証明せよ。
証明
　左辺＝（Ｂ＋Ｃ）Ａ　とすると、交換法則から、
　　　　＝Ａ（Ｂ＋Ｃ）　　分配法則から、
　　　　＝ＡＢ＋ＡＣ　　 交換法則から、
　　　　＝ＢＡ＋ＣＡ
　　　　＝右辺

　例１では、「Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ という法則があり、Ｂは任意の数なので、Ｂ＝２ についてもいえる」としています。これは「普遍（すべて）にいえることは、個別にもいえる」という個別化の原理にしたがっています。

　例２では、「（Ｂ＋Ｃ）Ａを交換法則から、項を交換し、Ａ（Ｂ＋Ｃ）」としています。これは、ＸＹ＝ＹＸで、Ｘを（Ｂ＋Ｃ）、ＹをＡに置き換えたものです。このように、文字の置き換えは個別化の原理にしたがっているわけです。

　直角三角形の３辺の長さをＡ、Ｂ、Ｃ（斜辺）とすると、三平方の定理（ピタゴラスの定理）がなりたちます。
三平方の定理：
　直角三角形ならば Ａ²＋Ｂ²＝Ｃ² であり、Ａ²＋Ｂ²＝Ｃ² ならば、直角三角形である。
　　　直角三角形　⇔　Ａ²＋Ｂ²＝Ｃ²

例３：　３辺の長さが ３、４、５ の三角形は直角三角形であることを証明せよ。
証明
　３²＋４²＝９＋１６＝２５
　５²＝２５
　よって、３²＋４²＝５² なので、三平方の定理から、直角三角形である。

　ここでも個別化の原理が使われています。「→」は「ならば」と読みます。
　普遍：　Ａ²＋Ｂ²＝Ｃ²　→　直角三角形
　個別：　３²＋４²＝５² 　→　直角三角形

練習
１．　つぎの証明は、移行の法則によりますか、個別化の原理によりますか。

　　足が６本ある虫を昆虫という。
　　よって、足が６本あるカブトムシは昆虫である。

　　カブトムシには足が６本ある。
　　足が６本ある虫は昆虫である。
　　よって、カブトムシは昆虫である。

２．　３辺の長さがが ５、１２、１３ の三角形は直角三角形であることを、三平方の定理を使って証明してください。


　答 え











答え
１．
　個別化の原理
　移行の法則（三段論法）

２．
　５²＋１２²＝１３² であることを証明できると、三平方の定理から直角三角形であることがいえる。
　左辺＝５²＋１２²＝２５＋１４４＝１６９
　右辺＝１３²＝１６９
　よって、左辺＝右辺 となり、直角三角形である。