中学から数学だいすき!

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背理法による証明

 簡単に見えるものほど証明は難しいものです。このような証明に背理法(はいりほう)を使うことができます。背理とは、理に背(そむ)くことです。移行の法則などによる証明が難しい場合、背理法で考えてみましょう。

背理法の手順
 (AかB)で〔(A→C)で(A→¬C)→¬A 〕→ B
 か (or) で (and) → (ならば) ¬ (でない)

Aを否定しBを証明する
。舛Bのどちらかである。 
Aであると仮定すると矛盾するので、Aでない
 (A→C)で(A→−C)→¬A
Aでないので、Bである

例1: 「クモは昆虫でない」ことを証明せよ。「→」は「ならば」、「¬」は「でない」と読みます。
 クモは昆虫であるか、昆虫でないか、どちらかである。
 クモは昆虫である仮定する。
 昆虫は足が6本ある。
 しかし、クモは足が8本である(6本でない)。
 矛盾するのは仮定が誤っているからである。
 よって、クモは昆虫でない

例2: X+1≧0 ならば、 X≧−1 を証明せよ。
(証明1)
 X+1≧0 ならば、X≧−1か、X<−1 である。
 X+1≧0 ならば、 X<−1 と仮定する。
 X=−2 のとき、X+1=−1<0 となり、
 X+1≧0 と矛盾する。
 仮定が誤っているので、
 X+1≧0 ならば、 X≧−1 である。

(証明2)
 X+1≧0 を満たすXは、 X≧−1 か X<−1 のどちらかである。
 X+1≧0 ならば、 X<−1 と仮定すると、対偶から、
 X≧−1 ならば、X+1<0  ・・・
 ところが、X=1 ならば、X+1≧0  ・・・
 ,鉢△鰐圭發垢襦
 仮定が誤っているので、
 X+1≧0 ならば、 X≧−1 である。

(参考) 対偶による証明
 X+1≧0 ならば、 X≧−1 ・・・
 ,梁亢は、
 X<−1 ならば、X+1<0  ・・・
 △肋錣棒り立つので、,いえる。

 数直線を見てください。「でない」について、次のことがいえます。記号⇔は「同じ」を表します。

  ―+――+――+――+――+―
   -2  
-1  0  1  2

   X≧−1 でない ⇔ X<−1
   X<−1 でない ⇔ X≧−1

練習
1. つぎの文は、「クモは昆虫でない」ことを証明しています。証明は、移行の法則、個別化の原理、背理法のどれによりますか。

  足が6本でなければ昆虫でない。
  クモの足は6本でないので昆虫でない。

2. 三角形の辺の長さを A、B、C(一番長い辺) とすると、A+B>C を証明してください。
 ヒント: A+B>C の否定は、A+B=C か A+B<C です。

3. X+Y≧0 ならば、X≧0 か Y≧0 を証明してください。
 ヒント: X≧0 か Y≧0 の否定は、X<0 で Y<0 です。

 答 え











答え
1.
個別化の原理 
例1は、説明のために背理法を使いました。この場合、個別化の原理のほうが、証明が少なくてすみます。

2.
A+B>C でないと仮定し、線分Cを底辺にした三角形を考える。
A+B>C でないのは、つぎの,△両豺腓任△襦
。繊棕臓瓧 の場合、線分C上に線分Aと線分Bが重なるので、三角形にならない。
したがって、A+B=C はありえない。
■繊棕臓磽 の場合、線分Aと線分Bはつながらないので、三角形にならない。
したがって、A+B<C はありえない。
,鉢△ら、A+B>C である。

3.
X+Y≧0 ならば、X<0 で Y<0 とする。
X=−1、Y=−1 とすると、X+Y=−2<0 になり、X+Y≧0 ではない。
よって、X<0 で Y<0 ではない。つまり、X≧0 か Y≧0 である。

(参考) ド・モルガンの法則から
  「X≧0 か Y≧0」でない ⇔ 「X<0 で Y<0」
  「X<0 で Y<0」でない ⇔ 「X≧0 か Y≧0」


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