後件否定・対偶による証明
A → B (AならばBである)において、前にある条件Aを前件、後のBを後件といいます。このとき、「AならばBで、Bでなければ、Aでない」という後件否定の関係がなりたちます。
後件否定: 〔(A → B) で −B〕 → −A
この関係は、つぎの図から理解できます。Aをカラス、Bをトリとすると、「カラス→トリ」です。どんなカラスもトリに含まれるからです(カラス⊂トリ)。
そして、「トリでない」(大円の外側)は、「カラスでない」(小円の外側)に含まれるので(トリでない⊂カラスでない)、「トリでない→カラスでない」がいえます。
「カラス→トリ」と「トリでない→カラスでない」は論理の上で同じです。この一方からいえる他方を、対偶(たいぐう)といいます。
対偶: A → B ⇔ −B → −A (⇔: 双方向の「ならば」)
例1: クモが昆虫ならば、クモの足は6本です。クモは昆虫でないを、後件否定によって証明してください。
クモが昆虫ならば、クモの足は6本である。 ( A → B )
クモの足は8本で、6本でない。 (−B )
よって、クモは昆虫でない。 (−A )
例2: クモが昆虫ならば、クモの足は6本です。クモは昆虫でないことを、対偶によって証明してください。
対偶から、
クモの足が6本でないならば、クモは昆虫でない。 (−B→−A )
クモの足は8本で、6本でない。 (−B )
よって、クモは昆虫でない。 (−A )
練習
1. つぎの証明は個別化の原理、後件否定、どちらによりますか。
奇数+奇数=偶数 ならば、5+7 も偶数である。
すべてのカラスが黒いならば、コクマルガラスも黒いはずだ。
しかし、コクマルガラスは白黒まだらである。
よって、すべてのカラスが黒いとはいえない(黒くないカラスもい
る)。
2. 三辺の長さが A、B、C (最長)のとき、直角三角形ならば、A2+B2=C2 です。3辺の長さが8、14、16の三角形は直角三角形でないことを、対偶によって証明してください。
答 え
答え
1.
個別化の原理
後件否定
2.
「直角三角形 → A2+B2=C2」 なので、
対偶から、「A2+B2≠C2 → 直角三角形でない」がいえる。
A2+B2=82+162=260 で、C2=162=256 である。
A2+B2≠C2 なので、直角三角形でない。
後件否定: 〔(A → B) で −B〕 → −A
この関係は、つぎの図から理解できます。Aをカラス、Bをトリとすると、「カラス→トリ」です。どんなカラスもトリに含まれるからです(カラス⊂トリ)。
そして、「トリでない」(大円の外側)は、「カラスでない」(小円の外側)に含まれるので(トリでない⊂カラスでない)、「トリでない→カラスでない」がいえます。
「カラス→トリ」と「トリでない→カラスでない」は論理の上で同じです。この一方からいえる他方を、対偶(たいぐう)といいます。
対偶: A → B ⇔ −B → −A (⇔: 双方向の「ならば」)
例1: クモが昆虫ならば、クモの足は6本です。クモは昆虫でないを、後件否定によって証明してください。
クモが昆虫ならば、クモの足は6本である。 ( A → B )
クモの足は8本で、6本でない。 (−B )
よって、クモは昆虫でない。 (−A )
例2: クモが昆虫ならば、クモの足は6本です。クモは昆虫でないことを、対偶によって証明してください。
対偶から、
クモの足が6本でないならば、クモは昆虫でない。 (−B→−A )
クモの足は8本で、6本でない。 (−B )
よって、クモは昆虫でない。 (−A )
練習
1. つぎの証明は個別化の原理、後件否定、どちらによりますか。
奇数+奇数=偶数 ならば、5+7 も偶数である。
すべてのカラスが黒いならば、コクマルガラスも黒いはずだ。
しかし、コクマルガラスは白黒まだらである。
よって、すべてのカラスが黒いとはいえない(黒くないカラスもい
る)。
2. 三辺の長さが A、B、C (最長)のとき、直角三角形ならば、A2+B2=C2 です。3辺の長さが8、14、16の三角形は直角三角形でないことを、対偶によって証明してください。
答 え
答え
1.
個別化の原理
後件否定
2.
「直角三角形 → A2+B2=C2」 なので、
対偶から、「A2+B2≠C2 → 直角三角形でない」がいえる。
A2+B2=82+162=260 で、C2=162=256 である。
A2+B2≠C2 なので、直角三角形でない。
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