中学から数学だいすき!

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数学的帰納法による証明

 帰納(きのう)とは、いくつかの事実から結論を得ることです。たとえばヤエザクラは、花の形、色合い、香りがバラに似ています。バラは木でもあります。これらのことから、「ヤエザクラはバラの仲間だろう」と考えることができます。この推理を帰納法といいます。

問い: ヤエザクラはバラの仲間か?
答え: おそらくバラの仲間であろう。
理由: 
 花の形が似ている
 色合いが似ている
 香りが似ている
 木である

 結果として、答えは正しいといえます。しかし帰納法は、いくつかの事実から答えを予想しているので、完全な証明ではありません。「だろう」「可能性がある」という推理です。

 つかまえたカラスが3羽とも黒いことから、「カラスは黒い」と断定すると間違いです。黒ではないカラスがいるので、この推理は誤りになります。かといって、世界中のカラスを確認することは不可能ですね。

 これに対し、数学的帰納法はすべての場合を数学的に証明できます。この証明法は、答えが「である」と判断できる推論です。 

 たとえば、公式 1+3+5+・・・ +(2n−1)=n2  (n=1,2,3 ・・・ ) を数学的帰納法で証明してみましょう。

 考え方は、1のとき公式は正しいか、2のときはどうか、3のときはどうか、と確認していきます。2,3,4・・・を k で代用することによって、すべての場合を確かめることができます。

証明
 。遏瓧韻里箸公式は正しい。
  なぜなら、左辺=1 右辺=1 になる。

 
n=kのとき公式が正しいとすると、n=k+1でも公式は正しい。
  なぜなら、左辺と右辺は等しくなる。
  左辺={1+3+5+・・・ +(2k−1)}+{2(k+1)−1}
     =
2 +(2k+2−1)
     =k
2 +2k+1
  右辺=(k+1)
2  分配法則から、
     =k
2 +2k+1

 ,ら n=1 のとき公式は正しいので、 から n=2 でも公式は正しい。同様に n=3,4,5・・・ でも公式は正しい。(証明終わり)


練習
1. つぎの証明は、推論ですか推理ですか。

  月に暈(かさ)がかかって、暈(ぼ)けている。
  暈がかかると、翌日は雨になりやすい。
  だから、明日は雨だろう。

  連続する自然数は3の倍数である。
  なぜならば、Nを自然数とすると、
  (N−1)+N+(N+1)=3N になるからである。

2. ガウス少年は、1+2+3+・・・+100 の計算を、逆に並べてたし、2でわりました。すると、101の項が100個でてくるので、101×100/2ですぐに計算できました。
  1+2+3+・・・+100
 ={(1+2+3+・・・+100)+(100+99+・・・+2+1)}/2
 ={(1+100)+(2+99)+・・・+(99+2)+(100+1)}/2
 =(101×100)/2=5050

 これを一般化すると、自然数1からNまでの合計Sは、
  S= N(N+1)/2 になります。

問題: 数学的帰納法で、1+2+3+・・・+N=N(N+1)/2 を証明してください。

 答 え











答え
1.
推理
 「月に暈(かさ)がかかると翌日は雨」―― この観天望気があたる確率は60〜70%だそうです。

推論
 移行の法則によって、数式を計算し、3の倍数になることが導かれています。

2.
 1+2+3+・・・+N=N(N+1)/2 を証明する。
 。遏瓧韻里箸公式は正しい。
  なぜなら、左辺=1 右辺=1 になる。

 
n=kのとき公式が正しいとすると、n=k+1でも公式は正しい。
  なぜなら、左辺と右辺は等しくなる。
  左辺=(1+2+3+・・・ +k)+(k+1)  n=kのときの公式を使い、
     =
k(k+1)/2+(k+1)  通分すると、
     =(k
2+3k+2)/2
  右辺=(k+1){(k+1)+1)}/2
     =(k+1)(k+2)/2  分配法則から、
     =(k
2+3k+2)/2

 ,ら n=1 のとき公式は正しいので、△ら n=2 でも公式は正しい。同様に n=3,4,5・・・ でも公式は正しい。(証明終わり)



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