中学から数学だいすき!

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直角三角形

合同・平行四辺形・円周角 目次 >

 直角三角形には、直角と2つの鋭角があります。直角に向き合う1番長い辺を斜辺といいます。

 これから直角三角形の合同条件を証明してみましょう。
規則
2つの直角三角形は、,泙燭廊△里箸に合同である。
斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。
斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい。

   直角三角形の合同条件

例題1

 「2つの直角三角形で、斜辺と他の1辺がそれぞれ等しければ合同である」ことを証明してください。

 3辺が等しい三角形は合同です。ここでは、中学3年で習う三平方の定理を使って証明します。直角三角形の3辺の長さを a b c (斜辺)とすると、+ b = c の関係になっています。
 この式により、2辺の長さから残りの辺の長さが決まります。したがって、3辺が等しいので合同です。

(参考)
 辺の長さが3、4、5の三角形は直角三角形です。
 3 + 4= 5 になっているからです。 三平方の定理の証明

例題2
 「2つの直角三角形で、斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しければ合同である」ことを証明してください。

 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい三角形は合同です。直角三角形で、1つの鋭角が決まると、残りの角も決まります。したがって、斜辺とその両端の角がそれぞれ等しいので合同です。

練習
1. △ABC と △XYZ があります。∠B=∠Y=90°です。次の条件のうちで、△ABC≡△XYZ となるものはどれですか。また合同になる理由を述べてください。
 。腺臓瓧悖戞■贈叩瓧截
◆、棕叩瓣棕
 BC=YZ、CA=ZX
ぁ。達繊瓧擅悄□棕繊瓣棕

  直角三角形の合同

2. △ABC において∠A=90°です。∠Bの二等分線とAC の交点をEとします。EからBC に垂線を引き、交点をDとします。△AEDは二等辺三角形であることを証明してください。
(ヒント) 二等辺三角形であることを証明するには、2辺が等しいか2角が等しいかを示します。

  直角三角形の合同証明

答 え











答え
1.
 〇鯵儼舛如■価箸諒佞箸修隆屬粒僂それぞれ等しい。
 直角三角形で、斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。
ぁ…廠兒鯵儼舛如⊆佇佞硲韻弔留坡僂それぞれ等しい。

2.
 △ABE≡△DBE を証明し、EA=EDをいう。
 △ABEと△DBEにおいて、
  斜辺BEは共通
  ∠BAE=∠BDE=90°
  ∠ABE=∠DBE
 直角三角形の斜辺と1つの鋭角が等しいので、
 △ABE≡△DBE である。
 したがって、EA=ED となり、△AEDは二等辺三角形である。


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