中学から数学だいすき!

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円周角の定理

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 円の性質を説明します。円周の一部を(こ)といい、円周上の2点を結んだ線分を(げん)といいます。弓にたとえると、弓が弧で糸が弦にあたります。

 左図のように、円周上の1点から引いた2本の弦でできる角を円周角といいます。弧の両端と円の中心を結んでできる角を中心角といいます。

   円周角の定理1

規則
同じ弧にできる円周角と中心角には、円周角の定理が成り立っています。
 円周角=中心角/2

例題
 右図を使って、円周角の定理を証明してください。

 ∠P=∠AOB/2 を証明します。
 △APOは半径が等しいので、二等辺三角形です。
 よって、∠AOC=2∠APO ・・・
 同様に、∠BOC=2∠BPO ・・・
 ∠P=∠APO+∠BPO  ´△鯊綟すると、
    =(∠AOC+∠BOC)/2
    =∠AOB/2

練習
1. 円周角が20°のとき、対応する中心角は何度ですか。

2. 直径が弦のとき、弦に対応する弧の円周角は何度ですか。

3. 正方形の各頂点を通る円があります。1つの辺に対応する円周角が大小2つできます。それぞれ何度ですか。

      円周角の定理1

答 え









答え

1. 40°

2. 90°
 直径の円周角は180°なので、
 円周角=中心角/2=180/2=90(°)

3. 45° 135°
 小さい中心角は90°です。正方形の対角線は直角に交わり、交点が円の中心になるからです。
 大きい中心角は、360−90=270(°)です。
 円周角=中心角/2 で計算します。


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