中学から数学だいすき!

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3項式の計算

多項式の計算 目次 >

 a+b+c のように、項が3つある式を3項式といいます。乗法公式などを使って、3項式の計算をしてみましょう。

規則
(x+a)(x−a)=x2−a2
(x±a)2=x2±2ax+a2
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

例題1
 (x+1)(x+y+1) を計算してください。

 (x+1)(x+y+1)  x+y+1=A とすると、
=(x+1)A  分配法則から、
=xA+A  Aをもどすと、
=x(x+y+1)+(x+y+1)
=x2+xy+x+x+y+1  同類項をまとめると、
=x2+xy+2x+y+1

(別解)
 (x+1)(x+y+1)  x+1=A とすると、
=A(A+y)
=A2+Ay  Aをもどすと、
=(x+1)2+(x+1)y  規則△ら、
=x2+2x+1+xy+y
=x2+xy+2x+y+1

例題2
 (x+y+z)2 を計算してください。

 (x+y+z)2  x+y=A とすると、
=(A+z)2  規則△ら、
=A2+2Az+z2  Aをもどすと、
=(x+y)2+2(x+y)z+z2  規則△ら、
=x2+2xy+y2+2zx+2yz+z2  
=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx

(参考)
 (x+y)2 と (x+y+z)2 の式は、x y z を交換しても成り立ちます。このような式を展開すると、文字の並びに規則性が見られ、x→y→z の順に並べることができます。
 (x+y)2=x2+2xy+y2 =x2+y2+2xy
 (x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx

練習
 つぎの式を計算してください。
1. (2a−b)(a−2b)

2. (a+b+1)(a−b−1)

3. (a+b)(a2−ab+b2

4. (a+b)3

答 え









答え
1.
 (2a−b)(a−2b)
=2a2−4ab−ab+2b2
=2a2−5ab+2b2 ・・・(答)

 多項式の展開
2.
 (a+b+1)(a−b−1)  (a+b+1)=X とすると、
=X(a−b−1)
=aX−bX−X  Xをもどすと、
=a(a+b+1)−b(a+b+1)−(a+b+1)
=a2+ab+a−ab−b2−b−a−b−1
=a2−b2−2b−1 ・・・・(答)

(別解)
 (a+b+1)(a−b−1)
={a+(b+1)}{a−(b+1)} 規則,ら、
=a2−(b+1)2
=a2−b2−2b−1

3.
 (a+b)(a2−ab+b2)  (a+b)=X とすると、
=a2X−abX+b2X  Xをもどすと、
=a2(a+b)−ab(a+b)+b2(a+b)
=a3+a2b−a2b−ab2+ab2+b3
=a3+b3 ・・・(答)

4.
 (a+b)3
=(a+b)(a+b)2
=(a+b)(a2+2ab+b2)  (a+b)を分配してかけると、
=a2(a+b)+2ab(a+b)+b2(a+b)
=a3+a2b+2a2b+2ab2+ab2+b3
=a3+3a2b+3ab2+b3 ・・・(答)


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