中学から数学だいすき!

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共通因数で因数分解

因数分解 目次 >

 3x2+6x の2つの項には、3x が共通しています。この 3x をかっこの外に出すと、3x2+6x=3x(x+2) のように因数分解できます。

 因数分解の因数とは、積で表される数や式のことです。 たとえば
6x では、2と3 と x が 因数になっています。3x(x+2) では、3と x と x+2 が因数になっています。因数は、英語で factor (ファクター:要素)といいます。数や式がいくつかの要素からできている、という意味です。

 これから、3x2+6x における 3x のように、共通する因数(共通因数)をかっこの外に出し、因数分解してみましょう。

例題1
 2x2y−4xy+6x を因数分解してください。

 2x2y−4xy+6x  2x が共通しているので、
=2x(xy−2y+3) ・・・(答)

例題2
 (a+b)x2+2(a+b)x+a+b を因数分解してください。

 (a+b)x2+2(a+b)x+a+b  a+b が共通しているので、
=(a+b)(x2+2x+1)  x2+2x+1=(x+1)2 なので、
=(a+b)(x+1)2 ・・・(答)

(参考)
 平方公式を忘れていても、x2+2x+1 を因数分解できます。
 1=1×1、2=1+1 なので、
 x
2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) から、
 x2+2x+1=(x+1)(x+1)=(x+1)2 です。

練習
 因数分解してください。

1. ax2−2ax+a

2. x2/2+x+1/2

3. 4x2−36y2

4. (a+1)x2+(a+1)x−2a−2

5. x2y−5xy+6y

答 え











答 え
1.
 ax2−2ax+a  aが共通なので、
=a(x2−2x+1)  平方公式から、
=a(x−1)2

2. 
 x2/2+x+1/2  1/2をかっこの外に出すと、
=(x2+2x+1)/2  平方公式から、
=(x+1)2/2

3.
 4x2−36y2  4が共通なので、
=4(x2−9y2)  和と差の積の公式から、
=4(x+3y)(x−3y)

4.
 (a+1)x2+(a+1)x−2a−2  a+1 が共通なので、
=(a+1)(x2+x−2)  −2=−1×2、−1+2=1 なので、
=(a+1)(x−1)(x+2)

5.
 x2y−5xy+6y  yが共通なので、
=y(x2−5x+6)  6=(−2)×(−3)、−5=−2−3 なので、
=y(x−2)(x−3)


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