中学から数学だいすき!

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和と差の積で因数分解

因数分解 目次 >

 和と差の積の公式 x2−a2=(x+a)(x−a) を使って、因数分解してみましょう。

例題1
 x2−4y2 を因数分解してください。

 x2−4y2  4y2=(2y)2 なので、
=x2−(2y)2 2乗ひく2乗を和と差の積にすると、
=(x+2y)(x−2y) ・・・(答)

例題2
 4x2−y2/9 を因数分解してください。

 4x2−y2/9  2乗ひく2乗になおすと、
=(2x)2−(y/3)2
=(2x+y/3)(2x−y/3) ・・・(答)

練習
 因数分解してください。

1. ax2−a

2. x2−(x−a)2

3. (a+b)x2−25(a+b)y2

4. (x2+1)2−(x2−1)2−y2

5. x2−y2+2x−2y

答 え











答 え
1.
 ax2−a  aが共通なので、
=a(x2−1)  2乗ひく2乗になっているので、
=a(x+1)(x−1)

2. 
 x2−(x−a)2
=(x+x−a)(x−x+a)
=a(2x−a)

3.
 (a+b)x2−25(a+b)y2  a+b が共通なので、
=(a+b)(x2−25y2)  2乗ひく2乗になっているので、
=(a+b)(x+5y)(x−5y)

4.
 (x2+1)2−(x2−1)2−y2  xについて和と差の積にすると、
=(x2+1+x2−1)(x2+1−x2+1)−y2
=4x2−y2
=(2x+y)(2x−y)

(別解)
 (x2+1)2−(x2−1)2−y2  平方公式でxを整理すると、
=x4+2x2+1−(x4−2x2+1)−y2
=4x2−y2
=(2x+y)(2x−y)

5.
 x2−y2+2x−2y  2乗ひく2乗を和と差の積にすると、
=(x+y)(x−y)+2(x−y)  x−y が共通なので、
=(x−y)(x+y+2)

(別解)
 x2−y2+2x−2y
=(x2+2x)−(y2+2y)  平方公式用に1を加減すると、
=(x2+2x+1)−(y2+2y+1)
=(x+1)2−(y+1)2  2乗ひく2乗を因数分解すると、
=(x+1+y+1)(x+1−y−1)
=(x+y+2)(x−y)


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