中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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いろいろな因数分解

因数分解 目次 >

 これまで説明した因数分解の方法をまとめます。

1. 共通因数でくくる。 例: 2xy+4y=2y(x+2)
2. 置きかえる。 例: (x+1)2+x+1  x+1=A とすると、
              =A2+A=A(A+1)=(x+1)(x+2)
3. 和と差の積にする。 例: 4x2−9=(2x+3)(2x−3)
4. 平方公式を使う。 例: x2+10x+25=(x+5)2
5. 係数を分解する。 例:
              因数分解の例
例題1
 9x2−6x−4y2+1 を因数分解してください。

 9x2−6x−4y2+1  x で整理すると、
=(9x2−6x+1)−4y2  平方公式にあてはめると、
=(3x−1)2−4y2  和と差の積にすると、
=(3x−1+2y)(3x−1−2y)  x y の順に整理すると、
=(3x+2y−1)(3x−2y−1) ・・・(答)

例題2
 x2+y2+2xy−2yz−2zx を因数分解してください。

 x2+y2+2xy−2yz−2zx  x で整理すると、
=x2+2xy+y2−2yz−2zx  平方公式にあてはめると、
=(x+y)2−2yz−2zx  共通因数でくくると、
=(x+y)2−2z(x+y)  さらに共通因数でくくると、
=(x+y)(x+y−2z) ・・・(答)

練習
 因数分解してください。

1. 3x2−10xy+8y2

2. x2−y(2x−y)−z2

3. x4−(9x2−12x+4)

4. (x2−2x−1)2−3(x2−2x−2)−2
(ヒント) x2−2x−1=A と置く。

答 え











答 え
1.
 3x2−10xy+8y2=(3x−4y)(x−2y) ・・・(答)
 3  −4y=−4y
   ×
 1  −2y=−6y


2. 
 x2−y(2x−y)−z2  x で整理すると、
=x2−2xy+y2−z2  平方公式にあてはめると、
=(x−y)2−z2  和と差の積にすると、
=(x−y+z)(x−y−z) ・・・(答)

3.
 x4−(9x2−12x+4)  平方公式にあてはめると、
=x4−(3x−2)2  和と差の積にすると、
=(x2+3x−2)(x2−3x+2)
=(x2+3x−2)(x−2)(x−1) ・・・(答)

(参考)
 9x2−12x+4 は係数の分解によっても、因数分解できます。
=(3x−2)(3x−2)=(3x−2)2
 3  −2=−6
   ×
 3  −2=−6


4.
 x2−2x−1=A と置くと、
 (x2−2x−1)2−3(x2−2x−2)−1
=A2−3(A−1)−1
=A2−3A+2
=(A−1)(A−2)  Aをもどすと、
=(x2−2x−1−1)(x2−2x−1−2)
=(x2−2x−2)(x2−2x−3)
=(x2−2x−2)(x−3)(x+1) ・・・(答)

(参考)
 x2−2x−3=(x−3)(x+1)
 1  −3=−3
   ×
 1    1= 1



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