中学から数学だいすき!

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平方完成で解く

2次方程式 目次 >

 2次式が簡単に因数分解できない場合、平方完成による方法があります。

 たとえば、x−60x+731=0 で、左辺を (x−p)(x−q) の形にすることは難しいですね。和が−60、積が731になる p と q が、見つかりにくいからです。

 因数分解が難しい場合、平方公式を利用して解くことができます。
+ax=b の両辺に、a の半分の2乗をたすと、
(x+a/2)=b+(a/2) になります。
このように、x+ax を平方の形にすることを平方完成といいます。

規則
+ax=b の両辺に(a/2) をたすと、
(x+a/2)=b+(a/2)

例題1
 x+2x−5=0 を解いてください。

 x+2x−5=0  両辺に、2の半分の2乗をたすと、
 (x+2x+1)−5=1
 (x+1)=6
 x+1=±6  (±: 「プラスマイナス」と読む)
 x=−1±6 ・・・(答)

例題2
 x−60x+731=0 を解いてください。

 x−60x+731=0  両辺に、60の半分の2乗をたすと、
 x−60x+30+731=30
 (x−30)=169
 (x−30)=13
 x−30=±13
 x=30±13
 よって、x=17 または x=43 ・・・(答)

(別解)
 (x−30)−13=0  和と差の積にすると、
 (x−30+13)(x−30−13)=0
 よって、x=17 または x=43

練習
1. x+24x+a=(x+b) のとき、a と b を求めてください。

2. x−4x=1 を解いてください。

3. x−24x+143=0 を解いてください。

答 え











答 え
1.
 a=(24/2)=144
 b=24/2=12 ・・・(答)

(別解)
 x+24x+a=(x+b)  右辺を展開すると、
 x+24x+a=x+2bx+b
 24=2b a=b なので、
 b=12 a=144

2.
 x−4x=1  両辺に4をたすと、
 x−4x+4=5
 (x−2)=5
 x−2=±
 x=2±5 ・・・(答)

3.
 x−24x+143=0  両辺に、12=144 をたすと、
 (x−24x+12)+143=144
 (x−12)=1
 x−12=±1
 よって、x=11 または x=13 ・・・(答)


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