中学から数学だいすき!

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解から2次方程式を作る

2次方程式 目次 >

 (x−a)(x−b)=0 の解は、x=a または x=b です。逆に、解が x=a または x=b の2次方程式は、(x−a)(x−b)=0 から、x2−(a+b)x+ab=0 になります。a+b は解の和、ab は解の積です。

規則
解が、x=a または x=b になる2次方程式は、
(x−a)(x−b)=0 を展開した式
解の和=a+b  解の積=ab

例題1
 解が±5 になる2次方程式を作ってください。

 (x+5)(x−5)=0 左辺を展開すると、
 x2−25=0 ・・・(答)

(別解)
 解の和=0、解の積=−25 なので、
 2次方程式は、x2−0x−25=0
 よって、x2−25=0 ・・・(答)

例題2
 解が、2±√5 になる2次方程式を作ってください。

 (x−2+√5)(x−2−√5)=0
 (x−2)2−(√5)2=0
 x2−4x+4−5=0
 よって、x2−4x−1=0 ・・・(答)

(別解)
 解の和=2+√5+2−√5=4
 解の積=(2+√5)(2−√5)=−1
 よって方程式は、x2−4x−1=0 ・・・(答)

練習
1. 解が18になる2次方程式を作ってください。

2. 2次方程式 x2−ax+12=0 の解の1つが2のとき、もう1つの解を求めてください。

3. 解が1±√2 になる2次方程式を作ってください。

4. 解の和が2、積が−3になる2次方程式を作り、解を求めてください。

答 え











答 え
1.
 (x−18)(x−18)=0 なので、
 (x−18)2=0 を展開すると、
 x2−36x+324=0 ・・・(答)

(別解)
 解の和=18+18=36
 解の積=18×18=324
 よって、x2−36x+324=0 ・・・(答)

2.
 x2−ax+12=0 で、x=2 なので、
 22−2a+12=0 から、a=8
 2次方程式は、x2−8x+12=0
 (x−2)(x−6)=0 なので、
 もう一つの解は、x=6 ・・・(答)

(別解)
 もう1つの解を x とすると、
 解の積は、2x=12 なので、
 x=6 ・・・(答)
 
3.
 (x−1+√2)(x−1−√2)=0 
 (x−1)2−(√2)2=0
 x2−2x+1−2=0
 よって、 x2−2x−1=0 ・・・(答)

(別解)
 解の和=2
 解の積=(1−√2)(1+√2)=−1
 よって、x2−2x−1=0 ・・・(答)

4.
 2次方程式は、x2−2x−3=0 なので、
 (x+1)(x−3)=0
 よって、x=−1 または x=3 ・・・(答)


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