放物線と三角形
２次関数の応用 目次 >
放物線上にできる三角形の問題を解いてみましょう。はじめに、よく使われる三角形の性質を規則にまとめます。
規則
�� 平行線と面積の定理
三角形の底辺が同じで高さが同じならば、三角形の面積は等しい（左端の図）。
�� 底辺の分割
三角形の頂点から、底辺を ｍ：ｎ に分割する線を引くと、２つの三角形の面積は ｍ：ｎ になる（中央の図）。
�� 線分の中点
線分の中点の距離は、ｘ座標の中点の距離と、ｙ座標の中点の距離になる（右端の図）。
例題１
点Ａの座標は（−２，１）で、点 Ｂの ｘ座標は４です。ＡとＢは放物線 ｙ＝ａｘ2 上にあります。放物線の式を求めてください。
Ａ（−２，１）を放物線の式に代入すると、
１＝４ａ から、ａ＝１／４
よって、ｙ＝ｘ2／４ ・・・（答）
例題２
例題１の結果をもとに、点Ｂの座標を求めてください。
ｙ＝ｘ2／４ で、ｘ＝４ なので、
ｙ＝４2／４＝４
よって、Ｂ（４，４） ・・・（答）
練習
例題１、例題２の結果をもとに、次の問いに答えてください。
１． 線分ＡＢの式を求めてください。
２． 線分ＡＢの中点Ｍの座標を求めてください。
３． 原点Ｏを通り△ＡＯＢの面積を２等分する直線の式を求めてください。
４． 原点Ｏを通る直線と、線分ＡＢの交点をＮとします。Ｎを通り、△ＡＯＮ：△ＢＯＮ＝２：１ にする直線の式を求めてください。
答 え
答 え
１．
Ａ（−２，１）、Ｂ（４，４）を通る直線の式を、ｙ＝ｐｘ＋ｑ とする。
１＝−２ｐ＋ｑ ・・・��
４＝４ｐ＋ｑ ・・・��
�◆櫚，�ら、３＝６ｐ ｐ＝１／２
�△�ら、ｑ＝４−４ｐ＝２
よって、ｙ＝ｘ／２＋２ ・・・（答）
２．
Ａ（−２，１）、Ｂ（４，４）の中点を（ｘ，ｙ）とすると、
ＡＢの ｘ座標の距離の半分は、
｛４−（−２）｝／２＝３ よって、ｘ＝−２＋３＝１
ＡＢの式 ｙ＝ｘ／２＋２ に ｘ＝１ を代入すると、
ｙ＝１／２＋２＝５／２
よって、Ｍ（１，５／２） ・・・（答）
（別解）
ＡＢの ｙ座標の距離の半分は、
（４−１）／２＝３／２ よって、ｙ＝１＋３／２＝５／２
よって、Ｍ（１，５／２） ・・・（答）
３．
求める直線は原点を通り、Ｍ（１，５／２）を通るので、
ｙ＝（５／２）ｘ ・・・（答）
４．
ＮはＡＢを２：１に分ける点なので、
ＡＮの ｘ座標の距離は、｛（４−（−２）｝（２／３）＝４
Ａの ｘ座標は−２なので、Ｎの ｘ座標＝４−２＝２
ＡＢの式は、ｙ＝ｘ／２＋２ なので、ｘ＝２ を代入すると、
ｙ＝２／２＋２＝３
Ｎ（２、３）なので、ｙ＝（３／２）ｘ ・・・（答）
（参考）
�� 平行線と面積の定理を使う問題 → 放物線と直線の交点２
放物線上にできる三角形の問題を解いてみましょう。はじめに、よく使われる三角形の性質を規則にまとめます。
規則
�� 平行線と面積の定理
三角形の底辺が同じで高さが同じならば、三角形の面積は等しい（左端の図）。
�� 底辺の分割
三角形の頂点から、底辺を ｍ：ｎ に分割する線を引くと、２つの三角形の面積は ｍ：ｎ になる（中央の図）。
�� 線分の中点
線分の中点の距離は、ｘ座標の中点の距離と、ｙ座標の中点の距離になる（右端の図）。
例題１
点Ａの座標は（−２，１）で、点 Ｂの ｘ座標は４です。ＡとＢは放物線 ｙ＝ａｘ2 上にあります。放物線の式を求めてください。
Ａ（−２，１）を放物線の式に代入すると、
１＝４ａ から、ａ＝１／４
よって、ｙ＝ｘ2／４ ・・・（答）
例題２
例題１の結果をもとに、点Ｂの座標を求めてください。
ｙ＝ｘ2／４ で、ｘ＝４ なので、
ｙ＝４2／４＝４
よって、Ｂ（４，４） ・・・（答）
練習
例題１、例題２の結果をもとに、次の問いに答えてください。
１． 線分ＡＢの式を求めてください。
２． 線分ＡＢの中点Ｍの座標を求めてください。
３． 原点Ｏを通り△ＡＯＢの面積を２等分する直線の式を求めてください。
４． 原点Ｏを通る直線と、線分ＡＢの交点をＮとします。Ｎを通り、△ＡＯＮ：△ＢＯＮ＝２：１ にする直線の式を求めてください。
答 え
答 え
１．
Ａ（−２，１）、Ｂ（４，４）を通る直線の式を、ｙ＝ｐｘ＋ｑ とする。
１＝−２ｐ＋ｑ ・・・��
４＝４ｐ＋ｑ ・・・��
�◆櫚，�ら、３＝６ｐ ｐ＝１／２
�△�ら、ｑ＝４−４ｐ＝２
よって、ｙ＝ｘ／２＋２ ・・・（答）
２．
Ａ（−２，１）、Ｂ（４，４）の中点を（ｘ，ｙ）とすると、
ＡＢの ｘ座標の距離の半分は、
｛４−（−２）｝／２＝３ よって、ｘ＝−２＋３＝１
ＡＢの式 ｙ＝ｘ／２＋２ に ｘ＝１ を代入すると、
ｙ＝１／２＋２＝５／２
よって、Ｍ（１，５／２） ・・・（答）
（別解）
ＡＢの ｙ座標の距離の半分は、
（４−１）／２＝３／２ よって、ｙ＝１＋３／２＝５／２
よって、Ｍ（１，５／２） ・・・（答）
３．
求める直線は原点を通り、Ｍ（１，５／２）を通るので、
ｙ＝（５／２）ｘ ・・・（答）
４．
ＮはＡＢを２：１に分ける点なので、
ＡＮの ｘ座標の距離は、｛（４−（−２）｝（２／３）＝４
Ａの ｘ座標は−２なので、Ｎの ｘ座標＝４−２＝２
ＡＢの式は、ｙ＝ｘ／２＋２ なので、ｘ＝２ を代入すると、
ｙ＝２／２＋２＝３
Ｎ（２、３）なので、ｙ＝（３／２）ｘ ・・・（答）
（参考）
�� 平行線と面積の定理を使う問題 → 放物線と直線の交点２
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