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放物線と三角形

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 放物線上にできる三角形の問題を解いてみましょう。はじめに、よく使われる三角形の性質を規則にまとめます。

規則
平行線と面積の定理
 三角形の底辺が同じで高さが同じならば、三角形の面積は等しい(左端の図)。
底辺の分割
 三角形の頂点から、底辺を m:n に分割する線を引くと、2つの三角形の面積は m:n になる(中央の図)。
線分の中点
 線分の中点の距離は、x座標の中点の距離と、y座標の中点の距離になる(右端の図)。

 三角形の性質

例題1
 点Aの座標は(−2,1)で、点 Bの x座標は4です。AとBは放物線 y=ax2 上にあります。放物線の式を求めてください。

   2次関数と三角形

 A(−2,1)を放物線の式に代入すると、
 1=4a から、a=1/4
 よって、y=x2/4 ・・・(答)

例題2
 例題1の結果をもとに、点Bの座標を求めてください。

 y=x2/4 で、x=4 なので、
 y=42/4=4
 よって、B(4,4) ・・・(答)

練習
 例題1、例題2の結果をもとに、次の問いに答えてください。

1. 線分ABの式を求めてください。

2. 線分ABの中点Mの座標を求めてください。

3. 原点Oを通り△AOBの面積を2等分する直線の式を求めてください。

4. 原点Oを通る直線と、線分ABの交点をNとします。Nを通り、△AON:△BON=2:1 にする直線の式を求めてください。

答 え











答 え
1.
 A(−2,1)、B(4,4)を通る直線の式を、y=px+q とする。
 1=−2p+q ・・・
 4=4p+q ・・・
 ◆櫚,ら、3=6p p=1/2
 △ら、q=4−4p=2
 よって、y=x/2+2 ・・・(答)

2.
 A(−2,1)、B(4,4)の中点を(x,y)とすると、
 ABの x座標の距離の半分は、
 {4−(−2)}/2=3 よって、x=−2+3=1
 ABの式 y=x/2+2 に x=1 を代入すると、
 y=1/2+2=5/2
 よって、M(1,5/2) ・・・(答)
(別解)
 ABの y座標の距離の半分は、
 (4−1)/2=3/2 よって、y=1+3/2=5/2
 よって、M(1,5/2) ・・・(答)

3.
 求める直線は原点を通り、M(1,5/2)を通るので、
 y=(5/2)x  ・・・(答)

4.
 NはABを2:1に分ける点なので、
 ANの x座標の距離は、{(4−(−2)}(2/3)=4
 Aの x座標は−2なので、Nの x座標=4−2=2
 ABの式は、y=x/2+2 なので、x=2 を代入すると、
 y=2/2+2=3
 N(2、3)なので、y=(3/2)x ・・・(答)

(参考)
平行線と面積の定理を使う問題 → 放物線と直線の交点2


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