中学から数学だいすき!

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相似比と面積比

図形の相似 目次 >

 相似な図形の面積比は、相似比の2乗になります。理由を考えてみましょう。

例題1
 △abc と △ABC の相似比が m:n のとき、△abc:△ABC=m:n であることを証明してください。
    相似比

 L、H を定数とする。
 △abc と △ABC の底辺の長さは、
 それぞれ、mL、nL で表され、
 高さはそれぞれ、mH、nH で表される。
 したがって、
 △abc:△ABC=(mL)(mH)/2:(nL)(nH)/2
           =m:n (証明終わり)

例題2
 小と大の2つの相似な多角形があります。相似比が a:b のとき、面積比は a:b であることを証明してください。

   面積比

 多角形の内部を n 個の三角形に分けると、
  小さい多角形の面積=S1+S2+・・・+Sn
  大きい多角形の面積=S1'+S2'+・・・+Sn'
 例題1から、
  S1:S1'=:b
  S2:S2'=:b
       :
  Sn:Sn'=:b
 各式をたすと、
  (S1+S2+・・・+Sn):(S1'+S2'+・・・+Sn')
 =an:b
 =a:b (証明終り)

 一般化すると、次の規則が成り立ちます。
規則
相似な図形の面積比は、相似比の2乗になる。

練習
1. 大小2つの相似な長方形があります。相似比は m:n です。大小の長方形の面積比は m:n であることを証明してください。

2. 面積比が4:1の相似な正六角形があります。大きい正六角形の1辺の長さは12cmです。小さい正六角形の1辺の長さを求めてください。

答 え











答 え
1.
 a、b を定数とする。
 大きい長方形の縦と横の長さは、
  それぞれ、ma、mb で表され、
 小さい長方形の縦と横の長さは、
  それぞれ、na、nb で表される。
 したがって、
  大きい長方形の面積:小さい長方形の面積
 =(ma)(mb):(na)(nb)
 =m:n (証明終わり)

2. 
 小さい正六角形の1辺を x cmとすると、
 12:x=4:1
 4x=12
 x=36
 x>0 なので、x=6 (cm) ・・・(答)

(別解)
 面積比が4:1 なので、相似比は2:1
 12:x=2:1 よって、x=6 (cm) ・・・(答)


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