中学から数学だいすき!

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相似比と面積比

図形の相似 目次 >

 相似な図形の面積比は、相似比の2乗になります。理由を考えてみましょう。

例題1
 △abc と △ABC の相似比が n:m のとき、△abc:△ABC=n2:m2 になることを証明してください。

    相似比

 △abc の底辺をL、高さをHとすると、△abc=LH/2
 L:△ABC の底辺=n:m から、△ABC の底辺=(m/n)L
 同様に、△ABC の高さ=(m/n)H
 よって、
 △ABC=(m/n)L×(m/n)H/2
      =(m/n)2LH/2
      =(m2/n2)△abc  
 式を変形すると、△abc/△ABC=n2/m2 なので、
 △abc:△ABC=n2:m2 (証明終わり)

例題2
 小と大の2つの相似な多角形があります。相似比が a:b のとき、面積比は a2:b2 になることを証明してください。

   面積比

 多角形の内部を n個の三角形に分けると、
  小さい多角形の面積=S1+S2+・・・+Sn
  大きい多角形の面積=S1'+S2'+・・・+Sn'
 例題1から、S1:S1'=2:b2 なので、
   S1'=(b2/a2)S1  同様に、
   S2'=(b2/a2)S2
        :
   Sn'=(b2/a2)Sn
 S1' からn' までをたすと、
 大きい多角形の面積=S1'+S2'+・・・+Sn'
               =(b2/a2)(S1+S2+・・・+Sn)
               =(b2/a2)(小さい多角形の面積)
 よって、
 小さい多角形の面積:大きい多角形の面積
 =a2:b2 (証明終わり)

 一般化すると、次の規則が成り立ちます。
規則
相似な図形の面積比は、相似比の2乗になる。

練習
1. 大小2つの相似な長方形があります。相似比は n:m です。大きい長方形の縦の長さを a、横の長さを bとして、面積比が n2:m2 になることを証明してください。

2. 面積比が4:1の相似な正六角形があります。大きい正六角形の1辺は12cmです。小さい正六角形の1辺を求めてください。

答 え











答 え
1.
 大きい長方形=ab
 a:小さい長方形の縦=n:m から、小さい長方形の縦=am/n
 同様に、小さい長方形の横=bm/n
 よって、小さい長方形=(am/n)(bm/n)
               =(m2/n2)ab
               =(m2/n2)(大きい長方形)
 比で表すと、
 大きい長方形:小さい長方形=n2:m2 (証明終わり)

2. 
 小さい正六角形の1辺を xcmとすると、
 122:x2=4:1 
 4x2=122
 x2=(12/2)2
 x>0 なので、x=6 (cm) ・・・(答)
(別解)
 面積比が4:1 なので、相似比は2:1
 12:x=2:1 よって、x=6 (cm) ・・・(答)


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