平行線と中点連結定理
平行線を横切る線分の比はどのようになるでしょうか。
下の図を見てください。大小の三角形の底辺は平行なので、平行線と線分の比の規則から、ｍ：ｎ＝ｍ’：ｎ’ になります。
三角形になっていなくても、左端の線分と右端の線分の比は、ｍ：ｎ＝ｍ’：ｎ’ です。右端の線分は中央の線分を平行移動したものだからです。
三角形の頂角をはさむ２辺の中点を結んだ線分は、底辺に平行で、底辺の長さの２分の１になります。これを中点連結定理といいます。
例題
上の図から、中点連結定理を証明してください。
ＸＹ＝ＢＣ／２ を証明します。
∠Ａが共通 ・・・��
ＡＸ：ＡＢ＝ＡＹ：ＡＣ＝１：２ ・・・��
�´△�ら、△ＡＸＹ∽△ＡＢＣ
△ＡＸＹと△ＡＢＣ の相似比は １：２ なので、
ＸＹ：ＢＣ＝１：２
よって、ＸＹ＝ＢＣ／２
△ＡＸＹ∽△ＡＢＣ から、∠ＡＸＹ＝∠Ｂ
同位角が等しいので、ＸＹ // ＢＣ
練習
台形があります。上底の長さはａ、下底の長さはｂです。２つの斜辺の中点を結んでできる線分の長さ ｃ を求めてください。
答 え
答 え
台形に対角線を引き２つの三角形に分ける。
中点連結定理から、
ｃ＝ａ／２＋ｂ／２＝（ａ＋ｂ）／２ ・・・（答）
（別解）
同じ台形を上下逆さまにして、元の台形に貼り合わせると平行四辺形になる。
２ｃ＝ａ＋ｂ から、ｃ＝（ａ＋ｂ）／２
下の図を見てください。大小の三角形の底辺は平行なので、平行線と線分の比の規則から、ｍ：ｎ＝ｍ’：ｎ’ になります。
三角形になっていなくても、左端の線分と右端の線分の比は、ｍ：ｎ＝ｍ’：ｎ’ です。右端の線分は中央の線分を平行移動したものだからです。
三角形の頂角をはさむ２辺の中点を結んだ線分は、底辺に平行で、底辺の長さの２分の１になります。これを中点連結定理といいます。
例題
上の図から、中点連結定理を証明してください。
ＸＹ＝ＢＣ／２ を証明します。
∠Ａが共通 ・・・��
ＡＸ：ＡＢ＝ＡＹ：ＡＣ＝１：２ ・・・��
�´△�ら、△ＡＸＹ∽△ＡＢＣ
△ＡＸＹと△ＡＢＣ の相似比は １：２ なので、
ＸＹ：ＢＣ＝１：２
よって、ＸＹ＝ＢＣ／２
△ＡＸＹ∽△ＡＢＣ から、∠ＡＸＹ＝∠Ｂ
同位角が等しいので、ＸＹ // ＢＣ
練習
台形があります。上底の長さはａ、下底の長さはｂです。２つの斜辺の中点を結んでできる線分の長さ ｃ を求めてください。
答 え
答 え
台形に対角線を引き２つの三角形に分ける。
中点連結定理から、
ｃ＝ａ／２＋ｂ／２＝（ａ＋ｂ）／２ ・・・（答）
（別解）
同じ台形を上下逆さまにして、元の台形に貼り合わせると平行四辺形になる。
２ｃ＝ａ＋ｂ から、ｃ＝（ａ＋ｂ）／２
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