1. | 2点(4,-7)、(-3,14)を通る直線の式を求めてください。 |
(国立工業高専) | |
2. | 2点(0,6)と(-3,0)を通る直線Aと、2点(0,10)と(10,0)を通る直線Bがあります。直線Aと直線Bの交点を求めてください。 |
(佐賀県高) | |
3. | y+1 は x-2 に比例し、x=4 のとき、y=-5 です。このとき、yを xで表してください。 |
(國學院大久我山高) | |
4. | 直線 y=-4x-1 に平行であり、直線 y=3x-6 と x 軸との交点を通る直線の式を求めてください。 |
(日大第二高) | |
5. | 点A(6,4)と直線 y=-2x+4 があります。 (1) 点Aを通り、直線 y=-2x+4 に垂直な直線の式を求めてください。 (2) 2つの直線の交点の座標を求めてください。 (3) 点Aと交点の距離を求めてください。 |
1. | 直線の傾きは、(14+7)/(-3-4)=-3 直線は(4,-7)を通るので、 (y+7)/(x-4)=-3 y+7=-3(x-4) y=-3x+5 ・・・(答) |
|||||
2. | 直線Aの式を求める。 傾きは、(0-6)/(-3-0)=2 (0,6)を通るので、 (y-6)/(x-0)=2 y=2x+6 …? 直線Bの式を求める。 傾きは、(0-10)/(10-0)=-1 (0,10)を通るので、 (y-10)/(x-0)=-1 y=-x+10 …? ??の交点を求める。 ?-?:0=3x-4 x=4/3 ?:y=-x+10=-4/3+10=26/3 よって、交点は(4/3,26/3) ・・・(答) |
|||||
3. | y+1=a(x-2) (a:比例定数) とおける。 この式は、(4,-5)を満たすので、 -5+1=a(4-2) -4=2a a=-2 y+1=-2(x-2) y=-2x+3 ・・・(答) |
|||||
4. | 直線 y=-4x-1 に平行な直線の傾きは、-4 直線 y=3x-6 と x軸との交点を求める。 y=0 から、0=3x-6 x=2 交点は(2,0) 傾きが-4で、(2,0)を通る直線の式は、 (y-0)/(x-2)=-4 y=-4x+8 ・・・(答) |
|||||
5. | (1) 直線 y=-2x+4 に垂直な直線の傾きは、1/2 垂直な直線は、(6,4)を通るので、 (y-4)/(x-6)=1/2 y-4=x/2-3 y=x/2+1 ・・・(答) (2) 2直線の交点を求める。 y=-2x+4 …? y=x/2+1 …? ?-?:0=-2x-x/2+3 5x/2=3 x=6/5 ?:y=-2x+4=-12/5+4=8/5 よって、交点は(6/5,8/5) ・・・(答) A(6,4)と交点(6/5,8/5)の距離を求める。 三平方の定理から、 距離2=(6-6/5)2+(4-8/5)2 =(24/5)2+(12/5)2 =(12/5)2(4+1) 距離=12√5/5 ・・・(答) |
JUGEMテーマ:学問・学校
1. | 下の図のように、y=ax2 のグラフがあります。A、Bはグラフ上の点で、x 座標はそれぞれ2と-1です。 (2) a=2 のとき、点Bを通り△OABの面積を2等分する直線の式を求めてください。 |
||||||||
2. | 下図のように、関数 y=x2 のグラフと直線の交点をP,Qとし、直線と y
軸との交点をRとします。また、点Pの y 座標は16で、△O
PRと△OQ Rの面積比は 4:3 とします。 (1) PとQの座標と、直線の式を求めてください。 (2) 線分PQ の長さを求めてください。 (3) 原点O から直線に垂線を引き、直線との交点をHとするとき、OHの長さを求めてください。 |
||||||||
(福井県高) | |||||||||
3. | 下の図で、2直線の式は、y=(4/5)x+b と y=-x+6 です。2直線の交点Aは(a,4)で、P、B、C は切片です。 (1) 定数 a の値を求めてください。 (2) 定数 b の値を求めてください。 (3) 点Aを通り、△ABC の面積を2等分する直線の式を求めてください。 (4) x 軸上の2点B、C の間に点Qをとります。△ABC の面積と△PBQ の面積の比が 25:9 のとき、直線PQの式を求めてください。 |
||||||||
(江戸川学園取手高 文章要約) | |||||||||
4. | 下の図において、直線?は関数 y=-x+9 の グラフで、曲線?は関数 y=ax2
のグラフ、曲線?は関数 y=-x2/6
がのグラフです。 点Aは直線?と曲線?との交点で、そのx座標は3です。点Bは曲線?上の点で、線分ABはx軸に平行です。点Cは直線?とx軸との交点です。 また、2点D、Eは曲線?上の点で、点Dのx座標は-6であり、線分DEはx軸に平行です。 さらに、点Fは線分BDとx軸との交点です。 (1) 曲線?の式 y=ax2 のaの値を求めてください。 (2) 直線EFの式を y=mx+n とするとき、mの値とnの値を求めてください。 (3) 線分BC上に点Gを、三角形BDGと三角形DEGの面積が等しくなるようにとります。このときの、 点Gのx座標を求めてください。 |
||||||||
(神奈川県高) |
1. | (1) y=ax2 が(-2,3)を通るので、 3=a(-2)2 a=3/4 ・・・(答) (2) OAの中点をMとすると、面積を2等分する直線はMを通る。なぜならば、2つの三角形の高さは共通なので、底辺は OM=AM である。 A、B、Mの座標を求める。 Aは、x=2 なので、y=2(2)2=8 Bは、x=-1 なので、y=2(-1)2=2 よって、 A(2,8) B(-1,2) MはOAの中点なので、M(1,4) 直線BMの式を求める。 傾き=(4-2)/(1+1)=1 で、 M(1,4)を通るので、 (y-4)/(x-1)=1 y-4=x-1 y=x+3 ・・・(答) |
|||||||||||||||
2. | (1) P,Qの座標を求める。 P(x,16)とすると、16=x2 x<0 から、x=-4 P(-4,16) ・・・(答) PR:QR=4:3 内分点Rの x 座標は0なので、 0={3×(-4)+4x}/(4+3) 0=-(12+4x)/7 x=3 よって、Q(3,9) ・・・(答) 直線PQの式を求める。 P(-4,16)とQ(3,9)を通るので、 傾き=(9-16)/(3+4)=-1 Qを通るので、(y-9)/(x-3)=-1 y-9=-x+3 y=-x+12 ・・・(答) (2) P(-4,16)、Q(3,9)、三平方の定理から、 PQ=√{(3+4)2+(9-16)2} =7√2 ・・・(答) (3) Hの座標を求め、O Hを計算する。 直線 y=-x+12 に垂直なO Hの式は、 y=x である。 2つの直線の交点を求める。 x=-x+12 から、x=6 y=x=6 H(6,6)なので、 OH=√(62+62)=6√2 ・・・(答) |
|||||||||||||||
3. | (1) 直線 y=-x+6 は、A(a,4)を通るので、 4=-a+6 a=2 ・・・(答) (2) 直線 y=(4/5)x+b は、A(2,4)を通るので、 4=8/5+b b=4-8/5=12/5 ・・・(答) (3) P、B、C の座標を求める。 P: (0,b)=(0,12/5) B: 0=(4/5)x+12/5 x=-3 から、(-3,0) C : 0=-x+6 x=6 から、(6,0) △ABC を2等分する直線は、 A(2,4)と、BC の中点(3/2,0)を通るので、 傾き=(4-0)/(2-3/2)=8 Aを通るので、 (y-4)/(x-2)=8 y-4=8x-16 y=8x-12 ・・・(答) △ABC =9×4÷2=18 Qの座標を(x,0)として、x を求める。 △PBQ =(3+x)×(12/5)÷2=6(x+3)/5 △ABC :△PBQ =25:9=18:6(x+3)/5 30(x+3)=162 x+3=54/10 x=24/10=12/5 よって、Q(12/5,0) P(0,12/5) から、直線PQの式は、 y=-x+12/5 ・・・(答) |
|||||||||||||||
4. | (1) Aの座標(x,y)を求める。 Aは直線 y=-x+9 上にあり、x=3 から、 y=-3+9=6 A(3,6)は,放物線 y=ax2 上にあるので、 6=a×32 a=6/9=2/3 ・・・(答) Eの座標を求める。 E(x,y)は、放物線 y=-x2/6 上にあるので、 x=6 のとき、y=-62/6=-6 よって、E(6,-6) …? B(x,y)は、x=-3 のとき、y=2x2/3=6 よって、B(-3,6) …? D(x,y)は、x=-6 のとき、y=-x2/6=-6 よって、D(-6,-6) …? BDの傾き=(6+6)/(-3+6)=4 BDは、B(-3,6)を通るので、 (y-6)/(x+3)=4 y-6=4x+12 y=4x+18 F(x,y)を求める。 y=0 のとき、0=4x+18 x=-9/2 よって、F(-9/2,0) …? -6=6m+n 0=(-9/2)m+n 2式の差から、-6=(6+9/2)m m=-4/7 0=(-9/2)×(-4/7)+n n=-18/7 (答) m=-4/7 n=-18/7 (3) (考え方) 例題4を使う。 B(-3,6)、E(6,-6)の中点M(x,y)は、 x=(-3+6)/2=3/2 y=(6-6)/2=0 M(3/2,0) DMの式を求める。D(-6,-6)から、 傾き=(0+6)/(3/2+6)=4/5 D(-6,-6)を通るので、 (y+6)/(x+6)=4/5 y+6=4x/5+24/5 y=4x/5-6/5 …? BCの式を求める。B(-3,6)、C(9,0) 傾き=(6-0)/(-3-9)=-1/2 C(9,0)を通るので、 (y-0)/(x-9)=-1/2 y=-x/2+9/2 …? Gは??の交点なので、 4x/5-6/5=-x/2+9/2 10倍する。 8x-12=-5x+45 x=57/13 ・・・(答) |
JUGEMテーマ:学問・学校
1. | 双曲線 y=12/x と、直線 y=-x+8 の交点をAとBとします。線分ABを2等分する点の座標を求めてください。 |
||||||
2. | 下の図で、正三角形AOBの重心をGとします。Bの座標が(2,0)のとき、直線OGと直線ABの交点の座標を求めてください。 |
||||||
3 . |
下の図のように、直線 y=-x/2+4 とx軸の交点をA、y軸との交点B、線分ABを 1:3 に内分する点をCとします。 (1) 点Cの座標を求めてください。 (2) 線分ACの長さを求めてください。 |
||||||
4. |
放物線 y=x2/2 と直線との交点をそれぞれA、Bとし、直線と y 軸の交点をC とします。直線の傾きが -2、AC:C B=3:1 のとき、次の問いに答えてください。 (1) 点Aの座標を求めてください。 (2) 直線の式を求めてください。 |
||||||
(慶応義塾女子高) | |||||||
5. | 下の図で、曲線は関数 y=x2
のグラフです。x軸上にx座標が-3である点Aをとり、点Aを通り傾きが正の直線をひきます。直線と曲線の交点のうち、x座標が負のものをB、正のものをC
とし、直線とy軸との交点をDとします。また、座標軸の長さを1cmとします。 (2) AB:BC=1:3 のとき、BC の長さを求めてください。 |
||||||
(埼玉県高) |
1. | 双曲線と直線の交点を求める。 xy=12 x+y=8 積が12、和が8のとき、xとyは、次の2次方程式の解である。 t2-8t+12=0 (t-2)(t-6)=0 t=2, 6 x と y は対称(交換しても式は同じ)なので、 (x,y)=(2,6),(6,2) よって、A(2,6), B(6,2) ABの中点の座標(x,y)は、 x=(2+6)/2=4 y=(6+2)/2=4 (答) (4,4) |
|||||||
2. | 三角形の重心は、中線上にある。 A(1,√3)とB(2,0)の中点は、 x=(1+2)/2=3/2 y=(√3+0)/2=√3/2 (答) (3/2,√3/2) |
|||||||
3. |
(1) Aの座標を求める。 y=0 のとき、0=-x/2+4 から、x=8 A(8,0) Bの座標を求める。 y切片は4から、B(0,4) Cの座標(x,y)を求める。 CはABを 3:1 に内分するので、 x=(1×8+3×0)/(1+3)=2 y=(1×0+3×4)/(1+3)=3 よって,C(2,3) …(答) A(8,0) C(2,3) 三平方の定理から、 AC2=(8-2)2+(3-0)2=45 AC=√45=3√5 …(答) |
|||||||
4. | (1) Bの x 座標を x (>0)とすると、 A の x 座標は -3x なので、 A(-3x,9x2/2)、B(x,x2/2) ABの傾きが-2なので、 (9x2/2-x2/2)/(-3x-x)=-2 4x2/(-4x)=-2 x=2 A(-3x,9x2/2) から、A(-6,18) ・・・(答) 直線の式は、y=-2x+b で表されるので、 A(-6,18)から、 18=-2(-6)+b b=6 よって、y=-2x+6 ・・・(答) |
|||||||
5. | (1) 直線の式を求め、Dの座標を求める。 A(-3,0) y=x2 から、B(-2,4) 直線を、y=ax+b とすると、 0=-3a+b …? 4=-2a+b …? ?-?:4=a ?:b=3a=12 よって、y=4x+12 D(0,12) から、 △BOD=底辺×高さ/2 =12×2/2=12 (cm2) ・・・(答) AB:BC=1:3 から、BとC の座標を求める。 A(-3,0) で、C (c,c2) とすると、 AB:BC=1:3 から、 B(x,y)は、 x={3×(-3)+1×c}/(1+3) =(c-9)/4 …? y=(3×0+1×c2)/(1+3) =c2/4 …? Bは、y=x2 上にあるので、??から、 c2/4={(c-9)/4}2 4c2=c2-18c+81 3c2+18c-81=0 3でわる。 c2+6c-27=0 (c+9)(c-3)=0 c>0 から、c=3 よって、C (3,9) ??から、B(x,y)は、 x=(c-9)/4=-6/4=-3/2 y=c2/4=9/4 よって、B(-3/2,9/4) 三平方の定理から、 BC2=(3+3/2)2+(9-9/4)2 =92/4+272/16 =(4×92+272)/16 =92(4+9)/16 よって、BC=9√13/4 (cm) ・・・(答) |
JUGEMテーマ:学問・学校
JUGEMテーマ:学問・学校
例: 【操作1】 aの約数が書かれたカードをすべて取り除く。 【操作2】 bが書かれたカードを取り除く。ただし、【操作1】により、bが書かれたカードをすでに取り除いていた場合は、残っているカードのうち、 最も大きい数が、書かれたカードを取り除く。 大きいさいころの出た目の数が4、小さいさいころの出た目の数が2のとき、 a=4、 b=2 だから、 【操作1】 図1の、[1] と [2] と [4] のカードを取り除くと、図2のようになる。 図2 [1] [2] [3] [4] [5] [6] 【操作2】 【操作1】で [2] のカードをすでに取り除いているので、図2の、最も大きい数が書かれた[6] のカードを取り除くと、図3のようになる。 図3 [1] [2] [3] [4] [5] [6] この結果、 残ったカードは [3] [5] となる。 |
a\b | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
1 | 2345 | 13456 | 2456 | 2356 | 2346 | 2345 |
2 | 345 | 345 | 456 | 356 | 346 | 345 |
3 | 245 | 456 | 245 | 256 | 246 | 245 |
4 | 35 | 35 | 56 | 35 | 36 | 35 |
5 | 234 | 346 | 246 | 26 | 234 | 234 |
6 | 4 | 4 | 4 | 5 | 4 | 4 |
JUGEMテーマ:学問・学校
JUGEMテーマ:学問・学校
JUGEMテーマ:学問・学校
|
||||||||||||||||
(図は、割合と比_濃度 参照) |
JUGEMテーマ:学問・学校
? | 3つの中学校のうち、通学時間が30分以上の生徒の人数は、A中学校が最も多い。 | |
? | 3つの中学校のうち、通学時間が10分以上15分未満の生徒の割合は、B中学校が最も大きい。 | |
? | 3つの中学校において、通学時間が15分以上20分未満の生徒の割合はすべて等しい。 | |
? | 3つの中学校において、通学時間の平均値はすべて25分未満である。 |
順番 | - | 第1 四分位数 |
- | 第2 四分位数 |
- | 第3 四分位数 |
- |
A | 1-12 | 13 | 14-25 | 25.5 | 26-37 | 38 | 39-50 |
B | 1-12 | 13 | 14-25 | 25.5 | 26-37 | 38 | 39-50 |
C | 1-15 | 15.5 | 16-30 | 30.5 | 31-45 | 45.5 | 46-60 |
\ | 第1四分位数 | 第2四分位数 | 第3四分位数 | 該当 |
A | - | 20-25 | 25-30 | Z |
B | - | 15-20 | 25-30 | 残りX |
C | - | 15-20 | 15-20 | Y |
? | 3つの中学校のうち、通学時間が30分以上の生徒の人数は、A中学校が最も多い。 Aは10人、Bは12人から、× |
|
? | 3つの中学校のうち、通学時間が10分以上15分未満の生徒の割合は、B中学校が最も大きい。 Aは5人、Bは7人、Cは9人から、× |
|
? | 3つの中学校において、通学時間が15分以上20分未満の生徒の割合はすべて等しい。 Aは10/50=0.2、Bは10/50=0.2、Cは12/60=0.2 から、〇 |
|
? | 3つの中学校において、通学時間の平均値はすべて25分未満である。 階級値22.5=0 として、仮の平均値を計算する。A=0, B=-0.02, C=-0.8 から、すべて0以下なので、〇 (平均値は、A=22.5-5×0=22.5、B=22.5-5×0.02=22.4、C=22.5-5×0.8=18.5) |
|
JUGEMテーマ:学問・学校
[証明] △ACGと△ADIにおいて、 まず、線分AFは∠CADの二等分線であるから、 ∠CAF=∠DAF よって、∠CAG=∠DAH …? 次に、AB=AC より. △ABCは二等辺三角形 であり、その2つの底角は等いから、 【 a 】 …? また、弧ACに対する円周角は等いから、 ∠ABC=∠ADC …? ?、?より、∠ACB=∠ADC よって、∠ ACG=∠ADH …? ?、?より、 【 b 】 から、 △ACG∽△ADH |
【 a 】の選択肢 1. ∠ABC=∠ACB 2. ∠ACB=∠ADB 3. ∠AGB=∠CGF 4. ∠BAD=∠BCD |
|
【 b 】の選択肢 1. 1組の辺とその両端の角が それぞれ等しい 2. 2組の辺の比とその両端の 角がそれぞれ等しい 3. 3組の辺の比がすべて等しい 4. 2組の角がそれぞれ等しい |
[証明] △ACGと△ADIにおいて、 まず、線分AFは∠CADの二等分線であるから、 ∠CAF=∠DAF よって、∠CAG=∠DAH …? 次に、AB=AC より. △ABCは二等辺三角形 であり、その2つの底角は等いから、 【a:1. ∠ABC=∠ACB 】 …? また、弧ACに対する円周角は等いから、 ∠ABC=∠ADC …? ?、?より、∠ACB=∠ADC よって、∠ ACG=∠ADH …? ?、?より、 【b:4. 2組の角がそれぞれ等しい】 から、 △ACG∽△ADH |
JUGEMテーマ:学問・学校
ア | 2-8 |
イ | -4/5+1/4 |
ウ | (3x-y)/4-(5x+2y)/9 |
エ | 10/√5+√80 |
オ | (x-2)2-(x+3)(x-8) |
ア | 連立方程式 ax-by=-10 bx+ay=-11 の解が、x=3, y=2 のとき、a, bの値を求めてください。 |
イ | 2次方程式 3x2-5x-1=0 を解いてください。 |
ウ | 関数 y=ax2 について、xの変域が -3≦x≦2 のとき、yの変域は 0≦x≦6 でした。このときのaの値を求めてください。 |
エ | 1本150円のペンをx本と1冊200円のノートをy冊購人したところ、代金の合計は3000円以下でした。このときの数量の関係を不等式で表してくださいさい。 |
オ | 半径が6cmの球の体積を求めてください。ただし、円周率はπとします。 |
カ | x=143, y=47のとき、x2-9y2 の値を求めてください。 |
ア | 2-8=-(8-2)=-6 |
イ | -4/5+1/4 20で通分する。 =-16/20+5/20=-11/20 |
ウ | (3x-y)/4-(5x+2y)/9 36で通分する。 =9(3x-y)/36-4(5x+2y)/36 分配法則から、 =(27x-9y)/36-(20x+8y)/36 同類項をまとめる。 =(7x-17y)/36 |
エ | 10/√5+√80 分母を有理化する。 =10√5/5+√80 根号内を最小化する。 =2√5+√(16×5) =2√5+4√5 =6√5 |
オ | (x-2)2-(x+3)(x-8) 式を展開する。 =2-4x+4-(x2-5x-24) 同類項をまとめる。 =x+28 |
ア | 連立方程式 ax-by=-10 bx+ay=-11 の解が、x=3, y=2 のとき、a, bの値を求めてください。 連立方程式に、x=3, y=2を代入する。 3a-2b=-10 …? 3b+2a=-11 2a+3b=-11 …? ?+?:5a+b=-21 b=-21-5a …? ?を?に代入: 3a-2(-21-5a)=-10 3a+10a+42=-10 42を移項する。 13a=-52 a=-4 ?に代入する。 ?:b=-21-5a=-21+20=-1 (答) a=-4, b=-1 |
||||
イ | 3x2-5x-1=0 解の公式から、 x={5±√(25+12)}/6 =(5±√37)/6 |
||||
ウ | y=ax2 は、-3≦x≦2 のとき、0≦y≦6 0≦y≦6 から、y=ax2 は上に開いた放物線なので、a>0 x=-3 のとき、y=9a x=2 のとき、y=4a 9a>4a から、9a=6 a=2/3 |
||||
エ | 150x+200y≦3000 | ||||
オ | (球の体積は、「身の上に心配ある三女」から、) 4π63/3=288π (cm3) |
||||
カ | x=143, y=47のとき、 x2-9y2 2乗の差=和と差の積の積 から、 =(x+3y)(x-3y) =(143+141)(143-141) =284×2 =568 |
JUGEMテーマ:学問・学校
直線 | |
双曲線 | |
放物線 |
1. | 点(3,-2)を通る直線があります。この直線は x 座標が4のとき、直線 y=2x-6 と交わります。この直線の式を求めてください。 | ||||
2. | 下図のような、直線 y=2x とその直線上の点Aを通る関数 y=a/x のグラフがあります。 点Aの y 座標が6のとき、a の値を求めてください。 |
||||
(宮崎県高) | |||||
3. | 下の図において、点Aのx座標は2です。線分AC はy軸に平行で、線分BC
はx軸に平行です。 (1) 点C の座標を求めてください。 (2) 2点ABを通る直線の傾きが2のとき、aの値を求めてください。 |
||||
(秋田県高) | |||||
4. | 関数 y=ax2 のグラフ上に点A(-2,2)とB(6,b)があります。 (1) a の値と b の値を求めてください。 (2) 2点A,Bを通る直線の傾きを求めてください。 (3) △OABの面積を求めてください。 |
||||
(島根県高) | |||||
5. | 放物線 y=3x2/8 と、双曲線 y=a/x (x>0, a>3) のグラフがあります。AとBの x座標は2で、AとC のy座標は等しい。 △ABC の面積が6cm2のとき、aの値を求めてください。座標軸の1目盛りの長さを1cmとします。 |
||||
(大阪府高) |
1. |
直線を y=ax+b とする。 (3,-2)を通るので、 -2=3a+b …? 交点は、x=4 から、y=2×4-6=2 交点は(4,2)なので、 2=4a+b …? ?-?から、4=a ?から、b=2-4a=-14 よって、求める直線は、y=4x-14 ・・・(答) |
|||||||
2. | y=2x=6 ・・・? y=a/x=6 ・・・? ?から、2x=6 なので、x=3 ?から、a/3=6 なので、a=18 ・・・(答) |
|||||||
3. | (1) C(2,y) は、y=-x2/4
上にあるので、 y=-4/4=-1 よって、C(2,-1) ・・・(答) (2) Aのx座標は2で、y=ax2 を満たすので、 A(2,4a) BとC はy軸に対称なので、 B(-2,-1) ABの傾きが2なので、 {4a-(-1)}/{2-(-2)}=2 (4a+1)/4=2 4a=7 a=7/4 ・・・(答) |
|||||||
4. | (1) A(-2,2)、B(6,b)の座標は、y=ax2
を満たすので、 2=(-2)2a から、a=1/2 b=62a から、b=18 (答) a=1/2 b=18 (2) A(-2,2)、B(6,18)から、直線ABの傾きは、 (18-2)/{6-(-2)}=16/8=2 ・・・(答) (3) Aからx軸に垂線を引き、交点をA'(-2,0)とする。 Bからx軸に垂線を引き、交点をB'(6,0)とする。 ABとy軸の交点をC とすると、等積変形(▽=△)ができ、 △OAB=△OAC+△OBC =△OA'C+△OB'C=△A'C B' 直線の式は、y=2x+c で、A(-2,2)を通るので、 2=-4+c c=6 よって、 △A'C B'=底辺×高さ/2 =8×6/2=24 ・・・(答) |
|||||||
5. | A,B,C の座標を求める。 A(2,3×22/8)=A(2,3/2) B(2,a/2) C (x,3/2) y=3/2=a/x から、x=2a/3 C (2a/3,3/2) (a/2-3/2)×(2a/3-2)÷2=6 (1/2)(a-3)×(1/3)(a-3)=6 (1/6)(a-3)2=6 (a-3)2=36 a-3=±6 a=-3,9 a>3 から、a=9 ・・・(答) |
JUGEMテーマ:学問・学校
関数 | 式 | 特徴 | グラフ |
比例 | y=ax | 1次関数で、b=0 の場合。 | 直線 |
反比例 | y=a/x | xy=a (一定) となる。x≠0 | 双曲線 |
1次関数 | y=ax+b | y=ax を +b したもの。 | 直線 |
2次関数 | y=ax2 | y=ax2+bx+c で、b=c=0 の場合。 | 放物線 |
表1 |
|
|||||||||||||||
表2 |
|
|||||||||||||||
1. | yはxに比例し、x=2 のとき、y=-6 となります。x=-3 のとき、yの値を求めてください。 | ||||
(北海道高) | |||||
2. | 周の長さがxcmの長方形において、縦の長さを5cmとしたときの横の長さををycmとします。このとき、yをxの式で表してください。 | ||||
(高知県高) | |||||
3. | yはxに反比例し、x=3 のとき、y=-4 です。x=-2 のとき、yの値を求めてください。 | ||||
(島根県高) | |||||
4. | 1辺の長さがxcmの正方形があります。この正方形の周の長さをycmとするとき、yをxの式で表してください。 また、次のア〜エのうち、このxとyの関係を正しく述べているものはどれですか。 ア yはxに比例する。 イ yはxに反比例する。 ウ yはxの2乗に比例する。 エ yはxの1次関数であるが、yはxに比例しない。 |
||||
(岩手県高) | |||||
5. | ボールが自然に落ちるとき、落下距離 y m は、落下時間 x 秒 の2乗に比例します。測定すると、2秒後に19.6m 落下しました。 (1) x と y の関係を式で表してください。 (2) 10m の高さからボールが落ちるとき、地上に着くのは何秒後ですか。 |
1. | 比例の式を、y=ax として、aを求める。 (x,y)=(2,-6) を代入する。 -6=2a a=-3 比例の式は、y=-3x x=-3 のとき、y=-3×(-3)=9 ・・・(答) |
|
2. | 周の長さ=2(縦の長さ+横の長さ) から、 x=2(5+y) y=x/2-5 ・・・(答) |
|
3. | x=3 のとき、y=-4 から、 xy=-12 x=-2 のとき、-2y=-12 y=6 ・・・(答) |
|
4. | (答) y=4x ア | |
5. | (1) y=ax2 として、a を求める。 x=2 のとき、y=19.6 なので、 19.6=4a から、a=4.9 よって、y=4.9x2 ・・・(答) (2) 10=4.9x2 x2=100/49 x≧0 から、x=10/7 (秒後) ・・・(答) |
JUGEMテーマ:学問・学校
抽出 | |||
母集団 (全体) |
→ ← |
標本 (一部) |
|
推定 |
|
(慶應義塾高) |
(鳥取県高) |
1. | A市のすべての中学生8510人のうち、無作為に抽出した500人について通学時間を調査し、その結果を度数分布表に表しました。 この調査結果を用いて、通学時間が40分以上50分未満の生徒の人数は、A市全体で何人いるか推定してください。ただし、計算結果は、小数第1位を四捨五入して、整数値で求めるものとします。
|
|||||||||||||||
(大分県高) | ||||||||||||||||
2. | 学生の人数が9300人の大学で、無作為に450人を抽出し、ある日の午後8時にどのテレビ局の番組をみていたかについて標本調査を行い、450人すべてから回答を得ました。下の表は、その結果です。 このとき、この大学のすべての学生のうち、B局の番組をみていたのは、およそ何人と考えられますか。十の位の数を四捨五入して答えてください。
|
|||||||||||||||
(富山県高) | ||||||||||||||||
3. | 袋の中に黒玉だけがたくさん入っています。その個数を数える代わりに、同じ大きさの白玉500個を黒玉の入っている袋の中に入れ、よくかき混ぜた後、その中から100個の玉を無作為に抽出して調べると、白玉が15個含まれていました。標本と母集団の白玉の割合が等しいと考えて、袋の中の黒玉の個数を計算し、十の位を四捨五入して答えてください。 | |||||||||||||||
(山梨県高) | ||||||||||||||||
4. | ある池の中にいる鯉の総数を推定するために、標本調査をすることにしました。この池の中の鯉を60匹捕(つか)まえて、その全部に印をつけて、もとの池にもどしました。数日後、再び鯉を60匹捕まえたところ、その中に印のついた鯉が9匹いました。この池の中には、およそ何匹の鯉がいると考えられますか。 | |||||||||||||||
(新潟県高) | ||||||||||||||||
5. | 次の表1は、A農園で抽出した35個のいちごの重さを調べて、度数分布表にまとめたものです。 ただし、【 a 】には 整数が入るものとします。
|
|||||||||||||||
(鳥取県高) |
1. | 求める人数を x 人とする。 母集団の比率=標本の比率 と考えると、 x/8510=20/500 x=8510×20/500=340.4 (答) およそ340人 |
|||||||||||||||
2. | 母集団9300人の中で、B局の番組をみていた人を x 人とする。 標本450人の中で、B局の番組をみていた人は135人なので、 母集団の比率=標本の比率 と考えると、 x/9300=135/450 x=2790≒2800 (答) およそ2800人 |
|||||||||||||||
3. | 黒玉の数を x 個とする。 母集団(x+500)個中、白玉は500個 標本100個中、白玉は15個 母集団の比率=標本の比率 と考えると、 500/(x+500)=15/100 15(x+500)=50000 3(x+500)=10000 x=10000/3-500=2833.3…≒2800 (答) およそ2800個 |
|||||||||||||||
4. | 鯉の総数をx匹とする。 母集団の比率=標本の比率 と考えると、 印のついた比率は、 60/x=9/60 x=3600/9=400 (答) およそ400匹 |
|||||||||||||||
5. | 母集団400個における、28g以上30g未満の個数をx個とすると、この階級での相対度数は7/35なので、母集団比率=標本比率 と考えると、 x/400=7/35 x=80 から、およそ80個と推定した。
|
JUGEMテーマ:学問・学校
|
||||||||||||||||||||||
番目 | ||||||||||||||||||||||
番目 | ||||||||||||||||||||||
番目 | ||||||||||||||||||||||
番目 | ||||||||||||||||||||||
|:両端のデータ番号の平均 〇:データ番号を使用 |
1. | あるクラスの生徒32人に対して、通学時t剖の調査を行いました。次の図は、通学時間の分布のようすを箱ひげ図に表したものです。
語群
|
|||||||||||||||||||||
(岩手県高) | ||||||||||||||||||||||
2. | ある学年のA組、B組、C組は。どの組にも35人の 生徒が在籍しています。これら3つの組の各生徒を対象に、1か月間に図書室から借りた本の冊数を調べました。 下の図は、組ごとに、各生徒が借りた本の冊数の分布のようすを箱ひげ図に表したものです。この箱ひげ図から必ずいえることを、あとのア〜エから選んでください。
|
|||||||||||||||||||||
3. | 図1は、ある学級の生徒30人について、先月の図書館の利用回数を調べ、その分布のようすをヒストグラムに表したものです。例えば、利用回数が2回以上4回未満の生徒は3人であることがわかります。また、
図2のア 〜エのいずれかは、この利用回数の分布のようすを箱ひげ図に表したものです。その箱ひげ図をア〜エの中から選んでください。 |
|||||||||||||||||||||
(福島県高) |
1. |
|
|||||||||||||||||||
2. |
|
|||||||||||||||||||
3. | ヒストグラムの範囲は、2-4〜18-20 → アは4-6〜18-20 なので、違う。 30人の中央値▲は、(1+30)/2=15.5 から、 15番目と16番目の平均なので、8〜10 → ウかエ 第1四分位数は、(1+15)/2=8 番目のデータから、6-8になる。→ エ 1 2 3 4 5 6 7 ? 9 10 11 12 13 14 15▲16 (答) エ |
JUGEMテーマ:学問・学校
|
|||||||||||||||||
1. | 例題の条件で、Nが次の値のとき、各四分位数を求めてください。 (1) N=7 (2) N=8 (3) N=9 |
|||||||||||||||||||
2. | 次のような7人の体重データがあります。このとき、(1)〜(5)に答えてください。
(4) 範囲を求めてください。 (5) 四分位範囲を求めてください。 |
1. |
第2四分位数:(1+7)/2=4 番目 → d 第1四分位数:(1+3)/2=2 番目 → b 第3四分位数:(5+7)/2=6 番目 → f (2) [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] 第2四分位数:(1+8)/2=4.5 番目 → (d+e)/2 第1四分位数:(1+4)/2=2.5 番目 → (b+c)/2 第3四分位数:(5+8)/2=6.5 番目 → (f+g)/2 (3) [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 第2四分位数:(1+9)/2=5 番目 → e 第1四分位数:(1+4)/2=2.5 番目 → (b+c)/2 第3四分位数:(6+9)/2=7.5 番目 → (g+h)/2 |
|||||||||||||||||||||||||||
2. |
42 45 46 48 50 52 60 (kg)
第1四分位数:(1+3)/2=2 番目のデータは、45 第3四分位数:(5+7)/2=6 番目のデータは、52 =第3四分位数−第1四分位数 ==52-45=7 |
JUGEMテーマ:学問・学校
|
1. | 下の図は、ある中学校男子の握力の分布を表したヒストグラムです。
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
((広島大附属高)) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. | 下図は、ある都市の春の期間における1日の最高気温の分布を度数折れ線で近似したものです。 (2) 中央値を求めてください。 (3) 平均値を求めてください。 (4) 3つの代表値を不等式で表してください。 (2) 三角形の面積を左右に2等分する縦線の位置(横軸の座標) (3) 三角形の重心の位置(横軸の座標) 重心は、三角形の頂点と底辺の2等分点を結んだ線分を2:1に内分する点です。 |
1. |
ア: 中央値<最頻値<平均値 イ: 中央値<平均値<最頻値 ウ: 最頻値<中央値<平均値 最頻値は22.5 ・・・? 中央値を求める。 生徒数は、5+17+12+9+5+3+2+1=54 (1+54)/2=27.5 から、中央値は、27番目の27.5kgと、28番目の27.5kgの中央の値なので、 中央値は27.5 ・・・? ??から、最頻値<中央値 ?から、ウ ・・・(答) |
|||||||||||||||||||||
2. | (1) 最大の度数は10日なので、 最頻値は、20 (℃) ・・・(答) 中央値は、度数合計を左右に2等分する。下図のように 面積が S=S1+S2 となる中央値xを求める。 横軸がxの高さは、20:10=x:高さ 高さ=x/2 S=x(x/2)÷2=x2/4 …? 台形のS1を求める。 S1=(20×10÷2)-S=100-x2/4 …? 三角形のS2を求める。 S2=10×10÷2=50 …? ???から、 x2/4=(100-x2/4)+50 x2/2=150 x=10√3 (℃) ・・・(答) 平均値は、三角形の重心の横座標になる。 頂点の横軸の座標は、20 底辺の2等分点の座標は、30÷2=15 内分点の横軸の座標をxとすると、平行線と比の関係から、 (20-x):(x-15)=2:1 2x-30=20-x x=50/3 (℃) ・・・(答) 最頻値=20、中央値=10√3、平均値=50/3 の大小を比較する。 (解答1) 中央値=10√3=17.3… 平均値=50/3=16.66… (答) 平均値<中央値<最頻値 a,b,cが正のとき、a<b<c ⇔ a2<b2<c2 202=(60/3)2=3600/9 (10√3)2=(30√3/3)2=2700/9 (50/3)2=2500/9 (答) 平均値<中央値<最頻値 |
JUGEMテーマ:学問・学校
|
||
|
||
|
|||||||||||||
|
1. | 下の表は、生徒数40名のクラスで、最近1か月間に読んだ本の冊数を調査した結果をまとめたものです。 (1) 表の【 ア 】に当てはまる数を書いてください。 (2) 中央値を求めてください。 (3) 平均値を求めてください。
|
||||||||||||||||||||||
(愛媛県高 平均値を追加) | |||||||||||||||||||||||
2. | 下の図は、最近1か月間に、ある学級の生徒が図書室で借りた本の冊数と人数の関係を表したものです。中央値を求めてください。 |
||||||||||||||||||||||
(和歌山県高) | |||||||||||||||||||||||
3. | あるクラスの生徒10人に対して、読書週間に読んだ本の冊数を調査しました。下図は、このクラスの生徒のうち、調査日に調べることができた38人分の本の冊数と人数の関係を表したヒストグラムです。 後日、残りの2人の生徒が読んだ本の冊数を調査し、このクラスの生徒40人が読んだ本の冊数の平均値を計算したところ、3.5冊となりました。このとき、残りの生徒2人が読んだ本の冊数の合計x冊を求めてください。 |
||||||||||||||||||||||
4. | A市とB市の日中の最高気温について15日間調べました。次の図は、その結果をヒストグラムに表したものであり、A市の最高気温の平均値は2.5℃、B市の最高気温の平均値は2.7℃でした。A市、B市の最高気温について述べた文として適切なものを、次のア〜エの中から1つ選んでください。
|
||||||||||||||||||||||
(青森県高) | |||||||||||||||||||||||
5. | あるクラスで、10月の1人あたりの読書量を調査したところ、平均値が7冊、中央値が8冊、最頻値が8冊でした。このときのヒストグラムとして適切なものはどれですか。 |
||||||||||||||||||||||
(長野県高) |
1. | (1) ア=40-(1+2+4+11+9+6) =40-33=7 ・・・(答) 中央値は、20番目と21番目のデータの平均になる。 0〜3冊まで、1+2+4+11=18 (人) 4冊は9人いる。 20番目と21番目はどちらも4冊なので、 (4+4)/2=4 (冊) ・・・(答)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. | 度数合計=1+3+6+9+11+4+1=35 (人) (1+35)/2=18 中央値は、18番目のデータを含む階級になる。 0〜2冊までは、1+3+6=10 (人)、 3冊は9人いるので、 中央値は、3冊 ・・・(答) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. | 2人の読んだ冊数をxとする。 40人の平均値が3.5冊なので、 (x+3+2×7+3×10+4×8+5×6 +6×3+7)/40=3.5 x+3+14+30+32+30+18+7=140 x+134=140 x=6 (冊) ・・・(答) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. | 最頻値が8なので、アかイである。 平均値≠中央値 なので、分布が左右対称のイではない。 よって、ア ・・・(答) |
JUGEMテーマ:学問・学校
|
||||||||||
階級:各区間 (例:5~10) 度数:各区間のデータ数 相対度数:度数÷度数合計 |
|
1. | 下の表は、ある学級のハンドボール投げの記録を度数分布表に整理したものです。度数が最も多い階級の相対度数を求めてください。
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
(広島県高) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. | 下の表は、A中学校とB中学校の1年生の生徒を対象に、テレビの1日あたりの視聴時間を調査し、その結果を度数分布表に整理したものです。 この表をもとに、A中学校とB中学校の1年生の「30分以上60分未満」の階級の相対度数のうち、大きい方の相対度数を四捨五入して小数第2位まで求めてください。
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
(福岡県高) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. | 下の表は、生徒50人について身長の分布を調べたものです。?〜?の数を答えてください。
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
(同志社高) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. | 下の表は、ある中学校3年生の40人について、身長を測定しその結果を度数分布表に表したものです。
(2) 身長が160.0cm以上の生徒は何人ですか。 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
(和歌山県高) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. | 下の表は、あるみかん農園でとれたみかん8000個から、無作為に抽出したみかん40個の糖度を調ぺ、その結果を度数分布表に表したものです。 (1) 表のアに当てはまる数を求めてください。 (2) この結果をもとにすると、このみかん農園でとれたみかん8000個のうち、糖度が11度以E13度未満のみかんの個数は、およそ何個と推定されますか。
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
(愛媛県高) |
1. | 最頻値(最大の度数)は7なので、 7/20=0.35 ・・・(答) |
|||||||||||||||||
2. | A中学校: 25/85=0.294… B中学校: 32/136=0.235… A中学校のほうが大きいので、0.29 ・・・(答) |
|||||||||||||||||
3. | 相対度数=度数/度数合計 なので、 ?=8/50=0.16 ?=0.12×50=6 度数合計=50 なので、 50=3+5+8+?+11+6+3+1 ?=50-37=13 ?=?/50=13/50=0.26 相対度数合計=1.00 なので、 ?=1.00 (答) ?0.16 ?13 ?0.26 ?6 ?1.00 |
|||||||||||||||||
4. | (1) 150.0〜175.0 の相対度数合計は、 (40-2)/40=0.95 【 】=0.95-(0.1+0.3+0.2+0.1) =0.95-0.7=0.25 ・・・(答)
40×(0.3+0.2+0.1)=24(人) ・・・(答) |
|||||||||||||||||
5. | (1) ア=40-(2+13+12+9)=4 ・・・(答) (2) 糖度が11度以E13度未満の相対度数は、 (13+12)/40 8000個の場合、糖度が11度以E13度未満の個数をxとすると、相対度数は等しいとみなすと、 (13+12)/40=x/8000 x=8000×(13+12)/40=5000 (答) およそ5000個 |
|||||||||||||||||
JUGEMテーマ:学問・学校
|
|||||||||
1. | 4枚の硬貨A、B、C、Dを同時に投げるとき、2枚が表で2枚が裏の出る確率を求めてください。 | ||||
(福島県高) | |||||
2. | 白玉2個、黒玉3個が入っている袋があります。この袋から玉を1個取り出して色を調べ、それを袋の中にもどすことを2回くり返すとき、1回目、2回目ともに同じ色の玉が出る確率を求めてください。 | ||||
(佐賀県高) | |||||
3. | 次の6枚のカードを裏返してよく混ぜ、同時に3枚のカードを選びます。 (1) 3枚のカードの選び方は全部で何通りありますか。 (2) 選んだ3枚のうち、少なくとも2枚のカードがスペードである確率を求めてください。 |
||||
(大分県高) | |||||
4. | A、B、C 、D の4人の男子生徒と、E、F、Gの3人の女子生徒がいます。この7人の中から、くじ引きで2人の生徒を選ぶとき、男子生徒と女子生徒が1人ずつ選ばれる確率を求めてください。 | ||||
|
|||||
5. | 下図のように、SをスタートしてGをゴールとするゲームがあります。 さいころを投げて、出た目の数だけ矢印の方向へ進み、Gの位置にぴたりと止まったときだけ「上がり」とします。 それ以外のときは、Gを矢印の方向に通過して、さいころを再度振ります。 このとき、さいころを2回投げて上がりとなる確率を求めてください。 |
||||
(城北高) | |||||
6. | 1, 2, 3, 4, 5の5個の数字から異なる3個の数字を用いて、3桁の数字を作るとき、3の倍数となる確率を求めてください。 | ||||
(福岡大附属大濠高) |
1. | 全ての並べ方Nは、N=2×2×2×2=16 対象の並べ方nを求める. Aが表:BかCかDが表 3通り Aが裏:BCかCDかDBが表 3通り n=3+3=6 確率は、p=n/N=6/16=3/8 ・・・(答) |
||
2. | 白玉を??、黒玉を???とする。 全ての並べ方Nを求める。 1回目の並べ方は5通りで、2回目も5通りなので、 N=5×5=25 対象の並べ方を求める。 玉の色が同じ場合は、 (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) (?,?) の5通り <?,?> <?,?> <?,?> <?,?> の8通り n=5+8=13 確率は、p=n/N=13/25 ・・・(答) |
||
3. | (1) 全ての組合せNを求める。 6枚から3枚を選ぶので、 N=(6×5×4)/(3×2×1)=20 (通り) ・・・(答) (2) 対象の組合せを求める。 選んだ3枚のうち、2枚か3枚がスペードなので、 2枚の場合、<1,2,4〜6> <2,3,4〜6> <3,1,4〜6> 3枚の場合、<1,2,3> なので、 n=(3+3+3)+1=10 確率は、p=n/N=10/20=1/2 ・・・(答) |
||
4. | 全ての組合せNを求める。 7人から2人が選ばれるので、 N=(7×6)/(2×1)=21 対象の組合せを求める。 男子1人と女子1人を選ばれるので、 <A,E〜G> <B,E〜G> <C,E〜G> <D,E〜G> n=3+3+3+3=12 求める確率pは、p=n/N=12/21=4/7 ・・・(答) |
||
5. | 全ての並べ方Nは、N=6×6=36 対象の並べ方nを求める。 1回目、2回目の数の並べ方を(a,b)とする。 Gで上がる場合は、 a+b=4, 9 から、 ← a+b≦12 4:(1,3) (3,1) (2,2) 9:(3,6) (6,3) (5,4) ← (4,5)は1回目で上がり。 n=3+3=6 確率は、6/36=1/6 ・・・(答) |
||
6. | 全ての並べ方Nは、N=5×4×3=60 対象の並べ方を求める。 12、15,18,21, 24の各桁の和は、3, 6, 9, 3, 6 114, 117, 120, 123, 126の各桁の和は、6, 9, 3, 6, 9 から、 100a+10b+c a+b+c=3n とすると、 =100a+10b+3n-a-b=99a+9b+3n=3(33a+3b+n) よって、各桁の和が3の倍数なら、その数は3の倍数になる。 <1,2,3> <1,3,5> <2,3,4> <3,4,5> 並べ方は、それぞれ 3×2×1=6 通りから、 n=6×4=24 確率は、n/N=24/60=2/5 ・・・(答) |
JUGEMテーマ:学問・学校
小数の桁数 | 50 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 | 800 | 900 | 1000 |
0の出現回数 | 2 | 8 | 19 | 26 | 39 | 45 | 53 | 63 | 73 | 85 | 92 |
0の出現割合 | 0.04 | 0.08 | 0.10 | 0.09 | 0.10 | 0.09 | 0.09 | 0.09 | 0.09 | 0.09 | 0.09 |
1. | 大小2つのさいころを同時に1回投げ、大きいさいころの出た目の数を a 、小さいさいころの出た目の数を b とするとき、 (1) a=b となる確率を求めてください。 (2) 2a+b の値が素数になる確率を求めてください。 |
|
(三重県高) | ||
2. | 大小2つのサイコロを同時に投げるとき、次の(1)(2)に答えてください。 (1) 目の和が8になる確率を求めてください。 (2) 目の積が5の倍数になる確率を求めてください。 |
|
(長崎県高) | ||
3. | 大小2つのさいころを同時に投げるとき、出る目の数の積が45の約数となる確率を求めてください。 | |
(都立武蔵高) | ||
4. | さいころを2回投げ、1回目に出る目の数を x 、2回目に出る目の数を y とするとき、 y2/x が整数となる確率を求めてください。 | |
|
||
5. | 1から6までの目が出るさいころを2回投げて、最初に出た目の数をx、2回目出た目の数をyとします。このとき、2x-y-5=0 が成り立つ確率を求めてください。 | |
(徳島県高) |
1. | (1) 全ての場合の数Nは、N=6×6=36 (通り) 対象の場合の数nを求める。 (a,b)=(1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6) n=6 (通り) 確率は、p=6/36=1/6 ・・・(答) (2) 2a+b の範囲を求める。 2≦2a≦12、1≦b≦6 から、 3≦2a+b≦18 …? ?を満たす素数は、 2a+b=3,5,7,11,13,17 …? ?を満たす(2a,b)の並びを求める。 2a+b= 3: (2,1) 2a+b= 5: (2,3) (4,1) 2a+b= 7: (2,5) (4,3) (6,1) 2a+b=11: (6,5) (8,3) (10,1) 2a+b=13: (8,5) (10,3) (12,1) 2a+b=17: (12,5) n=1+2+3+3+3+1=13 確率は、p=13/36 ・・・(答)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. | (1) 全ての場合の数Nは、N=6×6=36 (通り) 対象の場合の数nを求める。 大小の目を a,b とすると、a+b=8 となる組合せ[a,b]は、 [2,6] 並べ方は、2通り [3,5] 並べ方は、2通り [4,4] 並べ方は、1通り n=2+2+1=5 (通り) 確率は、p=n/N=5/36 ・・・(答) (2) 対象の場合の数nを求める。 1≦ab≦36 で、ab が5の倍数になる場合は、 ab=5,10,15,20,25,30,35 このような、並べ方(a,b)は、 (1,5) 1通り (2,5) 1通り (3,5) 1通り (4,5) 1通り (5,1か2か3か4か5か6) 6通り (6,5) 1通り n=4+6+1=11 (通り) 確率は、p=n/N=11/36 ・・・(答) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. | 全ての場合の数Nは、N=6×6=36 (通り) 対象の場合の数nを求める。 45=1×3×3×5 なので、 45の約数は、1,3,5,9,15,45 目の積が4の約数となる組合せは、 [1,1] [1,3] [1,5] 並べ方は、5通り [3,3] [3,5] 並べ方は、3通り n=5+3=8 (通り) 確率は、p=n/N=8/36=2/9 ・・・(答) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. | 全ての場合の数Nは、N=6×6=36 (通り) y2/x が整数になる場合を求める。 y2=1: x=1 1通り y2=4: x=1,2,4 3通り y2=9: x=1, 3 2通り y2=16: x=1,2,4 3通り y2=25: x=1,5 2通り y2=36: x=1,2,3,4,6 5通り n=1+3+2+3+2+5=16 (通り) 確率は、p=n/N=16/36=4/9 ・・・(答) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. | 全ての場合は、N=6×6=36 (通り) 対象の場合の数を表で調べる。 2x=y+5 となる場合に〇をつける。 〇は3個あるので、n=3 (通り) 確率は、p=n/N=3/36=1/12 ・・・(答)
|
JUGEMテーマ:学問・学校
1. | 折り紙で鶴1000羽を4人で折る予定でしたが、人数が増えて20人で折ることになりました。20人で折ったときの1人あたりの鶴の数は、4人で折るときの何倍ですか。 | |
(島根県高) | ||
2. | あるクラスで千羽鶴を折ります。そのクラスの生徒x人が、1人あたり1時間につきy羽のペースで折ると、2時間でN羽折ることができます。また、折る人数を4人増やすと、1人あたり1時間に折る数を2羽減らしても、同じく2時間でN羽折ることができます。 このとき、y を xの式で表してください。 |
|
(久留米大附設高) | ||
3. | 水が120 L入った水槽から、水がなくなるまで一定の割合で水を抜きます。水を抜き始めてから8分後の水槽の水の量は100 Lでした。水を抜き始めてからx 分後の水槽の水の量を y Lとするとき、次の(1)~(3)の問いに答えてください。 (1) 毎分何Lの割合で水を抜いていますか。 (2) y を x の式で表してください。 (3) 水槽の水がなくなるのは、水を抜き始めてから何分後ですか。 |
|
(群馬県高) | ||
4. | ある映画館の入場券売り場では、販売開始時にすでに150人の行列があって、その後も毎分5人ずつの割合で行列が増えていきます。もし、売り場を1つにすると、30分で行列がなくなります。ここで、売り場を2つにすると何分で行列がなくなりますか。売り場で1分間に販売できる人数は一定であるとします。 | |
|
||
5. | ある養豚場に豚が n 頭( n は自然数)いて、ある量の餌の蓄えがあります。その餌は毎日一定量が買い足されています。しかし、餌は蓄えも含めて210日で豚に食べつくされてしまいます。また、最初の豚の数が 2n 頭だったとすると、餌は蓄えも含めて70日で食べつくされてしまいます。もし、最初の豚の数が 3n 頭だったとすると、餌は蓄えも含めてすべて何日で食べつくされてしまいますか。 | |
(慶応義塾志木高) |
1. | 20人で折るときの鶴の数をa羽/人、4人で折るときの鶴の数をb羽/人とする。 最初の仕事量は、1000×4=4000 羽人 増える仕事量は、0 減る仕事量は、20a または 4b 残りの仕事量は、0 から、 4000+0-20a=4000+0-4b 20a=4b a/b=1/5 (倍) ・・・(答) |
|
2. | 最初の仕事量は2時間で、N羽 減る仕事量は、 1人が1時間に折る数は、y羽/人 x人が2時間でN羽折るので、 x(2y)=2xy=N (羽) …? 折る人数を4人増やすと、 1時間に折る数は(y-2) (羽/人)なので、 (x+4)×2(y-2) =2(x+4)(y-2)=N (羽) …? ?=?から、 2xy=2(x+4)(y-2) xy=xy-2x+4y-8 4y=2x+8 y=x/2+2 ・・・(答) |
|
3. |
(1) 水抜きをaL/分とする。 最初の量+増える量-減る量=残りの量 から 120-8a=100 a=20/8=5/2 (L/分) ・・・(答) (2) 120-(5/2)x=y y=-(5/2)x+120 ・・・(答) (3) (-5/2)x+120=0 2をかける。 -5x+240=0 x=48 (分後) ・・・(答) |
|
4. | 最初の数+増える数-減る数=残りの数 …? 売り場が1つのときを考える。 最初の数は150人 1分間に増える数は、5人/分 1分間に減る数(販売する数)を x 人/分 とする。 30分で行列がなくなるので、?=0 から、 150+30×5-30x=0 30でわると、 5+5-x=0 x=10 (人/分) 売り場が2つのとき、かかる時間を y 分 とすると、 150+5y-(2x)y=0 x=10 なので、 150-15y=0 y=10 (分) ・・・(答) |
|
5. | 1頭が1日に食べる量を a 、1日に買い足す量を b 、3n 頭が食べつくす日数を x 日とする。 最初の量+買い足す量-食べる量=0 最初の量=食べる量−買い足す量 から、 210(na-b)=70(2na-b)=x(3na-b) …? ?の連立方程式から、xを求める。 210(na-b)=70(2na-b) …? 70(2na-b)=x(3na-b) …? ?: 210(na-b)=70(2na-b) 70でわる。 3na-3b=2na-b na=2b を?に代入する。 ?: 70(2na-b)=x(3na-b) na=2b から、 70(4b-b)=x(6b-b) 210b=x=5xb x=42 (日) ・・・(答) |
JUGEMテーマ:学問・学校
(中央大杉並高) |
2400m | ||||||
今 |
|
| |
|
城 | ||
→ 80m/分 | → 250m/分 | |||||
x分歩く | y分走る | 13分後 |
(お茶の水女子大附属高) |
xm | ||||
はじめ |
|
おわり | ||
歩道 | → ym/分 | |||
歩く | → 60m/分 | 12秒 | ||
歩く | → 40m/分 | 15秒 |
1. | 半径6cmの円Oの周上に点Aをとり、点Pが円周上を毎分2cmの速さで点Aから時計まわりに進みます。 3分後の扇形OAPの面積を求めてください。円周率はπとします。 |
|
(和洋国府台女子高) | ||
2. | ある人がA地点から8800m離れたB地点まで行くのに、A地点から途中のP地点までの道のりを分速257mで走り、P地点からB地点までの道のりを分速122mで歩きました。 A地点からP地点を通ってB地点まで行くのに50分かかったとき、A地点からP地点までの道のりと、P地点からB地点までの道のりはそれぞれ何mですか。 |
|
(都立国分寺高) | ||
3. | ある湖の周りに沿って道があります。この道をA君、B君、C 君の3人が同じ地点から同じ方向に、A君は分速80mで歩き、B君は分速160mで走り、C
君は自転車に乗って、同時にスタートし、回り続けることにしました。すると、回り始めてから25分後にC君が初めてA君に追いつき、それから更に25分後にC
君が初めてB君に追いつきました。 C君の自転車の速さは分速【 ア 】mで、この道の1周の長さは【 イ 】mです。ア、イを求めてください。 |
|
(函館ラ・サール高) | ||
4. | 線分AB上に点Cがあり、線分ACの長さは3cmlです。点Pは線分AB上を移動する点であり、点Qは線分CB上を移動する点です。 点Pは点Aを出発し、秒速5cmで点Bまで移動します。点Qは点Pが点Aを出発するのと同時に点Cを出発し、秒速4cmで点Bまで移動します。 点P、点Qが同時に点Bに到着するとき、線分ABの長さは何cmですか。 |
|
|
||
5. | 図の時計は2時6分を示しています。長針と短針の間の角の大きさを求めてください。 |
|
(日本大習志野高) | ||
6. |
|
|
(法政大高) |
1. | 弧APの長さは、(2cm/分)×(3分)=6 (cm) 円の面積は、36πcm2 円周は、12πcm よって、扇形の面積は、 36π×6/(12π)=18 (cm2) ・・・(答) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
AB=8800 m から、 x+y=8800 …? かかった時間から、 x/257+y/122=50 122をかける。 122x/257+y=6100 …? ??からyを消去する。 ?-?: (257-122)x/257=2700 135x=2700×257 x=20×257=5140 ?: y=8800-x=8800-5140=3660 (答) AP間 5140m PB間 3660m |
|||||||||||||||||||||||||||||||
3. | Cは回り始めて、25分後に初めてA(80m/分)に追いつくので、Aの進んだ距離AA'は、 25×80=25x-y …? Cは回り始めて、50分後に初めてB(160m/分)追いつくので、Bの進んだ距離BB'は、 50×160=50x-y …? ??からyを消去する。 ?-?: 25x=-25(320-80) x=240 ?: y=25(x-80)=25×160=4000 (答) ア 240 イ 4000 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
PとQがBに着くまでの時間は等しいので、 x/5=(x-3)/4 4x=5(x-3) x=15 (cm) ・・・(答) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
5. | 長針の速さは、6°/分 0:00 の位置から、2:06 までに短針と長針が進む角度の差は、 0.5(2×60+6)-6×6 =63-36 =27 (°) ・・・(答) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
6. | (1) t秒後の高さが90mなので、 45t-5t2=90 5でわる。 9t-t2=18 t2-9t+18=0 (t-3)(t-6)=0 t=3, 6 (答) 3秒後と6秒後 45t-5t2=0 5でわる。 9t-t2=0 t(t-9)=0 t=0, 9 t>0 から、t=9 (秒後) ・・・(答) |
JUGEMテーマ:学問・学校
@@ |
|
|
|
1. | 濃度7%の食塩水200g に水を x g 加えたら、濃度4%の食塩水になりました。 x の値を求めてください。 | ||
(都立隅田川高) | |||
2. | 6%の食塩水300gに12%の食塩水を加えたところ10%の食塩水ができました。12%の食塩水は何 g 加えましたか。 | ||
(江戸川学園取手高) | |||
3. | 容器A、Bにそれぞれ濃度 p % 、q % の食塩水が入っています。容器A、Bからそれぞれ a g 、b g の食塩水を取って混ぜたところ、その食塩水の濃度が容器Aの濃度の1/3になりました。このとき、比の値 a/b を p 、q を用いて表してください。 | ||
(東邦大付属東邦高) | |||
4. | A、 B2つの容器にそれぞれa%の食塩水900gと、b%の食塩水500gが人っています。最初にAから100gの食塩水を取り出しBに加えました。
|
||
|
|||
5. | 食塩水A、B、C があります。A 200g と B300g を混ぜると、濃度6.8%の食塩水ができ、B 300g と C 200g を混ぜると、濃度8.8%の食塩水ができます。また、A200g と C 300g を混ぜるとBと同じ濃度になります。食塩水A、B、C の濃度それぞれ x %、 y %、z % とするとき、x、y、zの値を求めてください。 | ||
(市川高) |
1. | 水(0%の食塩水) x g と7%の食塩水200g を加えて4%になったので、 4x=(7-4)×200 x=150 (g) ・・・(答)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. | 加える食塩水を x g とする。 (10-6)×300=(12-10)x x=4×300/2=600 (g) ・・・(答)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. | A(p%,ag)とB(q%,bg)を混ぜると、(p/3)%になったので、 a(p/3-p)=b(q-p/3) a/b=(q-p/3)/(p/3-p) =(3q-p)/(-2p) =(p-3q)/(2p) ・・・(答)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. | (1) Aから100gの食塩水をBに混ぜたので、 100×(a/100)+500×(b/100) =a+5b (g) ・・・(答) (2) Aを100g混ぜたBの濃度は、 (a+5b)/600×100=(a+5b)/6 (%) AにBを100g混ぜると、8.5%になったので、下図から、 800(8.5-a)=100{(a+5b)/6-8.5} 68-8a=(a+5b)/6-8.5 30倍する。 2040-240a=5a+25b-255 245a+25b=2295 5でわる。 49a+5b=459 …?
Bの食塩の量は、 500×{(a+5b)/600}=500×0.025 a+5b=15 …? ?-?から、 48a=444 a=111/12=37/4 ?から、5b=15-37/4=23/4 b=23/20 (答) (a, b)=(37/4, 23/20) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. | AとB、BとC、AとC の混合条件をまとめる。
200(6.8-x)=300(y-6.8) 300(8.8-y)=200(z-8.8) 200(y-x)=300(z-y) 3式を100でわり、整理する。 2x+3y=34 …? 3y+2z=44 …? 2x-5y+3z=0 …? ??から x を消去する。 ?-?: 8y-3z=34 …? ??から z を消去する。 ?×3+?×2: (9+16)y=132+68=200 y=200/25=8 ?: 2x=34-3y=10 x=5 ?: 2z=44-3y=20 z=10 (答) (x, y, z)=(5, 8, 10) |
JUGEMテーマ:学問・学校
変化の割合 =(y2-y1)/(x2-x1) |
1. | りんご5個と80円のオレンジ1個の代金の合計は、りんご1個と60円のバナナ1本の代金の合計の4倍です。このとき、りんご1個の値段を求めてください。 |
(沖縄県高) | |
2. | あるセーターを、ゆきさんは定価の35%引きで、あきさんは定価の500円引きで買ったところ、ゆきさんはあきさんより270円安く買うことができました。このセーターの定価を求めてください。 |
(青森県高) | |
3. | ノート2冊と鉛筆5本を買いました。代金はそれぞれ定価で買うと500円になるところ、ノートが定価の30%引き、鉛筆が定価の10%引きになっていたため、支払った代金は390円でした。ノート1冊と鉛筆1本の定価をそれぞれ求めてください。 |
(富山県高) | |
4. | ある商品を100個仕入れ、利益が仕入れ値の3割となるように定価をつけましたが、定価の2割引きで売ることにしました。すべて売り切ったところで2620円の利益がありました。この商品の1個あたりの仕入れ値を求めてください。 |
(法政大女子高) | |
5. | ある宝石の価格は重さの2乗に比例しているとします。価格が100万円のこの宝石を3つに割ってしまいました。その3つの重さの比が 2:3:5 であるとき、3つの宝石の価格の合計はもとの価格100万円よりいくら安くなりますか。 |
(早実高等部) | |
6. | ある文房具店では、ノート1冊の定価が100円で、2冊以上購入すると合計金額に対して次のような割引があります。 ? 2冊買うと合計金額の2%割引 ? 3冊買うと合計金額の4%割引 ? 4冊買うと合計金額の6%割引 : このように、1冊増えるごとに合計金額に対して2%ずつ割引率を増やし、最大50%まで割引します。この店でA君がノートを買ったところ、代金は1260円でした。このとき、買ったノートは全部で何冊ですか。消費税は考えないものとします。 |
(市川高) |
1. | りんご1個を x 円とする。 りんご5個とオレンジ1個の代金は、りんご1個とバナナ1本の代金の4倍なので、 5x+80=4(x+60) 5x+80=4x+240 x=240-80=160 (円) ・・・(答) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. | 定価を x 円とする。 ゆきさんの代金は、(1-0.35)x=0.65x あきさんの代金は、(x-500) ゆきさんは270円安く買ったので、 (x-500)-0.65x=270 0.35x=770 x=77000/35=2200 (円) ・・・(答) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. | ノートの定価を x円、鉛筆の定価を y円とする。 定価で買うと500円から、 2x+5y=500 …? 値引きで買うと390円から、 2(1-0.3)x+5(1-0.1)y=390 1.4x+4.5y=390 14x+45y=3900 …? ??からyを消去する。 ?×9-?: 4x=600 x=150 ?から、y=(500-2×150)=200 (答) ノート 150円, 鉛筆 200円 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. | 仕入れ値を、x (円/個) とする。 定価は、1.3x (円/個) 売値は、1.3x×0.8=1.04x (円/個) 利益が2620 円から、 100(1.04x-x)=2620 4x=2620 x=655(円) ・・・(答) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. | 価格は、重さの2乗に比例する。 割れる前の価格100万円は、重さを w 、定数を a とすると、 100=aw2 …? 重さ w が2:3:5に割れた価格の合計は、 2+3+5=10 から、 a(2w/10)2+a(3w/10)2+a(5w/10)2 =(4/100+9/100+25/100)aw2 ?から、 =4+9+25=38 安くなる金額は、 100-38=62 (万円) ・・・(答) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. | 冊数 x と割引率 y %の関係を調べる。
y=2x+b と表すことができ、(2,2)を通るので、 2=4+b b=-2 よって、y=2x-2 ただし、y≦50 100x{1-(2x-2)/100}=1260 x(100-2x+2)=1260 -2x2+102x=1260 2でわる。 x2-51x+630=0 解の公式から、 x={51±√(512-4×630)}/2 ={51±√(512-4×630)}/2 =(51±√81)/2 =(51±9)/2 x=21, 30 x=21 のとき、y=2x-2=40<50 x=30 のとき、y=2x-2=58>50 (不適) (答) 21冊 |
JUGEMテーマ:学問・学校
|
割合=対象/基準 (相対的な関係) |
||
|
比率=部分/全体 (部分と全体の関係) |
1. | A中学校の生徒数は、男女あわせて365人です。そのうち、男子の80%と女子の60%が、運動部に所属しており、その人数は257人です。 このとき、A中学校の男子の生徒数と女子の生徒数をそれぞれ求めてください。 |
(富山県高) | |
2. | ある吹奏部では男子部員の人数と女子部員の人数は同じでしたが、新入部員として女子6人のみ入部したところ、男子部員と女子部員の人数の比が 2:3になりました。男子部員は何人ですか。 |
(都立産業技術高専) | |
3. | 小学生と中学生を対象にした音楽鑑賞会が毎年開催されていて、今年の参加者は、小学生と中学生を合わせて135人です。今年は、昨年と比べて、小学生が10%減り、中学生が20%増え、全体では5人増えています。今年の小学生と中学生の参加者は、それぞれ何人ですか。 |
(明大付属明治高) | |
4. | M高校の生徒全員に、2つのテーマパークA、Bに行ったことがあるか、アンケート調査をしました。その結果、Aに行ったことがある生徒が全体の3/5、Bに行ったことがある生徒が全体の 2/7、AにもBにも行ったことがない生徒が全体の 3/14、A、Bともに行ったことがある生徒数が 63人でした。M高校の生徒数を求めてください。 |
(明大付属明治高) | |
5. | A高校とB高校の受験者数の比は 13:25 です。この受験者のうちでA、B両校の合格者の人数比は 3:5、不合格者の人数0比は 7:15 です。各高校における合格者数と不合格者数の比を求めてください。 |
(慶應義塾志木高) |
1. | 男子を x 人、女子を y 人とする。 x+y=365 …? 0.8x+0.6y=257 …? ?×5: 4x+3y=1285 …? ?×3: 3x+3y=1095 …? ?-?: x=190 ?: 190+y=365 y=175 (答) 男子 190人, 女子 175人 |
|||||||||||||||||||||||
2. | 男子部員を x 人とする。 女子6人が入部したので、女子部員は、(x+6)人 男子部員:女子部員=x:(x+6)=2:3 3x=2(x+6) x=12 (人) ・・・(答) |
|||||||||||||||||||||||
3. | 昨年の小学生をx人、昨年の中学生をy人とする。
x+y=130 …? 今年の人数は135なので、 0.9x+1.2y=135 10倍する 9x+12y=1350 3でわる。 3x+4y=450 …? ??からyを消去する。 ?×4-?:x=520-450=70 ?:y=130-x=60 今年の人数を求める。 0.9x=63 1.2y=72 (答) 小学生 63人, 中学生 72人 |
|||||||||||||||||||||||
4. | 生徒数をx人とする。 A: Aに行った ¬A: Aに行っていない B: Bに行った ¬B: Bに行っていない とする。
?=3x/5-63 ?=2x/7-63 から、 x=3x/5+2x/7+3x/14-63 70をかける。 70x=(42+20+15)x-63×70 7x=63×70 x=630 (人) ・・・(答) |
|||||||||||||||||||||||
5. | 受験者の比から、Aが13x人、Bが25x人とする。 合格者の比から、Aが3y人、Bが5y人とする。
A:B=(13x-3y):(25x-5y)=7:15 から、 15(13x-3y)=7(25x-5y) 5でわる。 3(13x-3y)=7(5x-y) 4x=2y y=2x …? Aの、合格者数:不合格者数 =3y:(13x-3y) ?を代入する。 =6x:(13x-6x)=6:7 Bの、合格者数:不合格者数 =5y:(25x-5y) ?を代入する。 =10x:(25x-10x)=2:3 (答) A 6:7, B 2:3 |
JUGEMテーマ:学問・学校
数学 | 問題内容 |
代数学 (計算) |
方程式 濃度 速さ 売買の比率 給水排水量 数量の増減率 数量の比 確率 相対度数、四分位数 母集団・標本比率 |
解析学 (座標) |
グラフ 割合と比、 関数、傾き 比例定数 変化の割合、 内分点 中点 |
幾何学 (図形) |
平行線と比 中点連結定理 線分比 面積比 体積比 相似比 直角三角形の辺の比、円周角と中心角 直径と円周 重心の内分比 |
1. | (x-3):8=3:2 | |||||
(愛知県高) | ||||||
2. | (x/2-3):(x/3+1)=3:5 | |||||
(東京工大附属科技高) | ||||||
3. | (3x+2y)/2=2x/3+y/6=0.5x-y+2 | |||||
(関西大第一高) | ||||||
4. |
|
|||||
(開成高) | ||||||
5. | x、y についての連立方程式
|
|||||
(東京工業大附科技高) | ||||||
6. |
(2) この連立方程式を解いてください。 |
|||||
(渋谷教育学園幕張高) |
1. | (x-3):8=3:2 外項の積=内項の積 から、 2(x-3)=24 2でわる。 x-3=12 移項する。 x=15 ・・・(答) |
||
2.. | (x/2-3):(x/3+1)=3:5 外項の積=内項の積 5(x/2-3)=3(x/3+1) 分配法則 5x/2-15=x+3 2をかける。 5x-30=2x+6 移項する。 3x=36 3でわる。 x=12 ・・・(答) |
||
3. | (3x+2y)/2=2x/3+y/6=0.5x-y+2 6をかける。 9x+6y=4x+y=3x-6y+12 2つの式にする。 9x+6y=4x+y から、 5x+5y=0 y=-x …? 4x+y=3x-6y+12 から、 x+7y=12 ?を代入うる。 -6x=12 x=-2 ?から、y=2 (答) (x, y)=(-2, 2) |
||
4. | (3-x):(y+1)=5:2 …? 3y+2z=1 …? 5x+2y+z=1 …? ?: 6-2x=5y+5 2x+5y=1 …? ??から z を消去する。 ?×2-?: 10x+y=1 …? ??から y を消去する。 ?×5-?: 48x=4 x=1/12 ?: y=1-10x=1-10/12=1/6 ?: z=(1-3y)/2=(1-1/2)/2=1/4 (答) (x, y, z)=(1/12, 1/6, 1/4) |
||
5. | 5x-8y=-1 …? x-ay=-2 …? x:y=2:3 から、2y=3x ?に代入する。 ?: 5x-12x=-1 7x=1 x=1/7 ?: y=(5x+1)/8 =(5/7+1)/8=12/56=3/14 ?: a=(x+2)/y=(1/7+2)×(14/3) =(15/7)×(14/3)=10 ・・・(答) |
||
6. | 2a-b+c=0 …? a+2b-12c=0 …? a2+b2+c2=15 …? ?×2+?: 5a-10c=0 a=2c ?-?×2: -5b+25c=0 b=5c a:b:c=2c:5c:c=2:5:1 ・・・(答) ?: (4+25+1)c2=15 30c2=15 c=±√2/2 a=2c=±√2 b=5c=±5√2/2 (答) (a, b, c)=(√2, 5√2/2, √2/2), (-√2, -5√2/2, -√2/2) (参考) 次のような、複合の±(プラスマイナス)を使った書き方もあります。 (a, b, c)=(±√2, ±5√2/2, ±√2/2) (複合同順) |
JUGEMテーマ:学問・学校
比較事項 | 割合 | 比 | |
相違点 | 書き方 | a/b | a:b |
連比 | なし | a:b:c | |
共通点 | 式 | a/b | 比の値 a/b |
単位 | なし | なし | |
比例式 | a/b=2/3 a/2=b/3=c/5 |
a:b=2:3 a:b:c=2:3:5 |
割合 | 比 |
値引率、税率、損益率、増減率、濃度、速度、給排水量、縮尺、確率、相対度数、標本比率、比例定数、変化の割合 | 数量比、平行線と比、直角三角形の辺の比、相似比、線分比、面積比、体積比、四分位数 |
1. | 太郎さんは靴を買うことにしました。太郎さんが選んだ靴は定価の3割引きで売られていました。さらに、店員が150円値引きしてくれたので、太郎さんは定価の2/3で買うことができました。太郎さんが選んだ靴の定価をx 円として、定価を求めてください。ただし、消費税は考えないものとします。 |
(栃木県高) | |
2. | A中学校の生徒数は、男女あわせて365人です。そのうち、男子の80%と女子の60%が、運動部に所属しており、その人数は257人です。 このとき、A中学校の男子の生徒数と女子の生徒数をそれぞれ求めてください。 |
(富山県高) | |
3. | 濃度20%の食塩水をA、濃度15%の食塩水をBとします。60gの食塩水Aに食塩水Bを何g加えると、濃度18%の食塩水になりますか。 |
(法政大国際高) | |
4. | 2つの水槽A、Bに42Lずつ水が入っています。水槽Aから水槽Bに水を移して、AとBの水槽に入っている水の量の比が 2:5 になるようにします。何Lの水を移せばよいか、求めてください。 |
(青森県高) |
|
5. | 家から学校までの道のりは1200 mです。最初のxrnを分速60mで歩き、残りの道のりを分速120mで走りました。家から学校までにかかった時間を、xを使った式で表してください。 |
(大分県高) |
1. | 定価が x 円なので、 売値は、0.7x 円 値引きが150円なので、代金は、(0.7x-150) 円 代金が定価の2/3 から、 0.7x-150=2x/3 30倍する。 21x-4500=20x x=4500 (円) ・・・(答) |
2. | 男子を x 人、女子を y 人とする。 x+y=365 …? 0.8x+0.6y=257 …? ?×5: 4x+3y=1285 …? ?×3: 3x+3y=1095 …? ?-?: x=190 ?: 190+y=365 y=175 (答) 男子 190人、女子 175人 |
3. | Bの食塩水の量を、x
gとします。 Aの食塩の量は、0.2×60 Bの食塩の量は、0.15x AとBを混ぜたときの食塩水の量は、60+x 混ぜると18%なので、 (0.2×60+0.15x)/(60+x)=0.18 0.2×60+0.15x=0.18(60+x) 12+0.15x=10.8+0.18x 0.03x=1.2 x=40 (g) ・・・(答) |
4. | xLの水を移すとする 移した後の水の量の比から、 (42-x):(42+x)=2:5 210-5x=84+2x 7x=126 x=18 (L) ・・・(答) |
5. | 歩いた時間は、x/60 走った時間は、(1200-x)/120 かかった時間は、 x/60+(1200-x)/120 =x/60+10-x/120 =x/120+10 (分) ・・・(答) |
JUGEMテーマ:学問・学校
【 計算 】 割合と比_基礎知識 割合と比_方程式 割合と比_人数 割合と比_売買 割合と比_濃度 割合と比_速さ 割合と比_増減 割合と比_確率1 割合と比_確率2 割合と比_相対度数 割合と比_代表値1 割合と比_代表値2 割合と比_箱ひげ図1 割合と比_箱ひげ図2 割合と比_標本調査 |
【 座標 】 割合と比_関数 割合と比_式とグラフ 割合と比_内分点 割合と比_面積 割合と比_直線の式 |
まとめ1 まとめ2 まとめ3 まとめ4 まとめ5 |
1. | 0, 1, 2, 3, 4, 5
と書かれた6枚のカードがあります。その中からカードを1枚取り出し、そのカードに書かれた数を a
としてもとにもどします。もう一度、その中からカードを1枚取り出し、そのカードに書かれた数を b とします。 このとき、a+b が素数になる確率を求めてください。 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. | 1から6までの数字を1つずつ書いた6枚カードがあります。この6枚のカードをよく切ってから同時に2枚引くとき、引いたカードに書いてある2つの数の公約数が1しかない確率を求めてください。
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. | 1〜6の数字が書かれた玉が6個が入っている袋があります。この袋の中から、同時に2個の玉を取り出すとき、素数の玉と素数以外の玉が1個ずつある確率を求めてください。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. | 2つの袋A、Bがあり、袋Aの中には、1, 3, 5, 7の数字が1つずつ書かれた4個の玉が、袋Bの中には、2, 4, 6,
8の数字が1つずつ書かれた4個の玉が入っています。 この2つの袋の中からそれぞれ玉を1個ずつ取り出すとき、袋Aから取り出した玉に書かれた数を a 、袋Bから取り出した玉に書かれた数を b とします。このとき、a+b の値が素数になる確率を求めてください。 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. | 箱Aと箱Bがあります。箱Aには2, 5, 6の数が書かれたくじが1本ずつ入っており、箱Bには1, 3,
4,
7と書かれたくじが1本ずつ入っています。箱Aから引いたくじに書かれている数をa、箱Bから引いたくじに書かれている数をbとします。 積abが素数となる確率を求めてください。 |
1. | ≪m≫は自然数mを素数の積で表したときの、素数の個数を表すものとします。たとえば、≪5≫=1、≪6≫=≪2×3≫=2、 ≪24≫=≪2×2×2×3≫=4 です。このとき、次の問いに答えてください。 (1) ≪50≫-≪60≫ を計算してください。 (2) ≪6≫≪x≫2-≪1000≫≪x≫-≪256≫=0 を満たす最小の自然数xを求めてください。 |
2. | 整数nの正の約数の個数をf(n)
と表すことにします。このとき、次の問いに答えてください。 (1) 2以上30以下の整数nで、f(n)=2 となるnは全部で何個ありますか。 (2) 2以上300以下の整数nで、f(n)=3 となるnは全部で何個ありますか。 |
3. | 正の整数xに対して、1からxまでの整数のうち、xとの最大公約数が1であるものの個数をf(x)
とおきます。 例えばf(5) では、1から5までの整数のうち、5との最大公約数が1(=公約数が1だけ)となるのは、1, 2, 3, 4 の4つなので、f(5)=4 です。 またf(6) では、1から6までの整数のうち、6との最大公約数が1となるのは、1, 5 の2つなので、f(6)=2 です。次の問いに答えてください。 (1) f(15)、f(16)、f(17) をそれぞれ求めてください。 (2) p,qを互いに異なる素数とするとき、 ? f(p) をpを用いて表してください。 ? f(pq) をf(p)、f(q) を用いて表してください。 |
4. | 10から100までの自然数xに対して、xを素因数分解したときの2の個数を<x>で表すことにします。例えば、<40>=<2×2×2×5>=3
です。このとき、次の問いに答えてください。 (1) <96>を求めてください。 (2) 袋の中に10から100までの自然数が1つずつ書かれたカードが入っており、その中から1枚だけカードをひくこととします。ひいたカードに書かれた数をxとするとき、<x>=2 となる確率を求めてください。 |
5. | 正の整数をxとし、[x]
はxの正の約数の個数を表すものとします。例えば、6の正の約数は、 1, 2, 3, 6 の4個なので、[6]=4 となります。0<x<10 のとき、[x]2-[x]-2=0 を満たすxの値をすべて求めてください。 |
JUGEMテーマ:学問・学校
1. | x, yは素数で、x<y のとき、xy-x-y=11 を満たす(x,y)の組を求めてください。 |
2. | 6の以下の素数 a, b があり、a<b のとき、a+b=7 となる(a,b)の組を求めてください。 |
3. | x2=y2+24 を満たす素数の組(x,y)を求めてください。 |
4. | pとqはともに素数とします。p<q とするとき、p+q=40 となる (p,q) の組をすべて求めてください。 |
5. | x.y.zを素数とする z=80x2+2xy-y2 を満たす(x.y,z)の組のうち、zの値が2番目に小さい組を求めてください。 |
1. | 1〜12の目が出るさいころが1個あります。このさいころを1回投げるとき、目の出かたについて、(1) (2)
(3)の場合の数を答えてください。 (2) 3の倍数の目の出かた (3) 奇数または素数の目の出かた |
||
2. | 正十二面体のさいころの各面に1から12までの異なる整数が1つずつ書いてあります。このさいころを1回投げたとき、一番上に書いてある数が素数となる確率を求めてください。 | ||
3. | 大小2つのさいころを同時に1回投げ、大きいさいころの出た目の数を a 、小さいさいころの出た目の数を b
とするとき、 (1) a=b となる確率を求めてください。 (2) 2a+b の値が素数になる確率を求めてください。 |
||
4. | 大小2つのサイコロを同時に投げます。大きいさいころの出た目の数を十の位の数とし、小さいさいころの出た目の数を一の位の数として、2桁の数をつくります。 この2桁の数が素数となる確率を求めてください。 |
||
5. | 1から20までの自然数のうち、すべての素数を小さいほうから順に並べて、最初の6つの数字をそれぞれ6つの面に1つずつ書いた大小2つの立方体があります。この2つの立方体を同時に1回投げるとき、出る目の数の和が素数になる確率を求めてください。 |
JUGEMテーマ:学問・学校
1. | 2つの整数 1271と1517 の最大公約数を求めてください。 |
2. | √(10-n) が正の整数となるような、正の整数nの値をすべて求めてください。 |
3. | √(540/n) の値が整数となるような、自然数nは全部で何通りありますか。 |
4. | √(2022-6n) が自然数となるような正の整数のうち、最も小さいnの値を求めてください。 |
5. | √(n2+55) が自然数となるような自然数 n の値を求めてください |
1. | 6x2+5x-4=0 |
2. | x2+3x-7=0 |
3. | x2-6x-72=0 |
4. | 2x2+3x-4=0 |
5. | x2+7x-144=0 |
JUGEMテーマ:学問・学校
1. | 〔n〕は、自然数 n の正の約数の個数を表すものとします。例えば、6の正の約数は、1, 2, 3, 6 なので、〔6〕=4 です。〔504〕を求めてください。 |
2. | 〔6〕=4 は、6の正の約数の個数4を表すものとします。 (1) 〔72〕-〔〔72〕〕-〔18〕 の値を求めてください。 (2) 〔x〕=15 となる正の整数 x のうち、最小のものを求めてください。 |
3. | [6]=4 は、6の正の約数の個数4を表すものとします。正の整数をxとし、[x] はxの正の約数の個数を表すものとします。0<x<10 のとき、[x]2-[x]-2=0 を満たすxの値をすべて求めてください。 |
4. | 1から50までの整数のうち、2でも3でも割り切れないものはいくつあるか答えてください。 |
5. | 8個の約数を持つ最も小さい正の整数を求めてください。 |
1. | 連続する2つの素数の和が78のとき、2数の差の絶対値を求めてください。 | |
2. | p と q はともに素数とします。 p<q とするとき、p+q=40 となる p、q の組をすべて求め、答えを(p,q)の形で示してください。 | |
3. | 2つの素数 a、b について、積 ab の正の約数の和が112となるとき、ab の値を求めてください。 | |
4. |
|
|
5. | n2-22n+96 が素数になるような自然数nをすべて求めてください。 | |
JUGEMテーマ:学問・学校
1. | 0から20までの整数があります。次の個数を答てください (1) 自然数 (2) 偶数 (3) 3の倍数 (4) 素数 |
2. | 1から100までの整数のうち、素数は何個ありますか。 |
3. | 1/16-1/24 を計算してください。 |
4. | nが自然数のとき、√(20n) が最小の整数となるnを求めてください。 |
5. | 次の数列で、□の数字を答てください。 (1) 1, 4, 9, □, 25, … (2) 11, □, 17, 19, 23, … (3) 3, 5, □, 9, 11, … (4) 4, 9, 25, 49, □, … |
6. | 1から6の目が出る大小のさいころが2個あり、大の目をa、小の目をbとします。2個のさいころを同時に1回投げたとき、大小の目の和が素数になる場合は何通りですか。 |
1. | 221/323 を簡単にしてください。 |
2. | 1/12-1/15-1/18 を計算してください。 |
3. | 23/24, 15/16, 31/32 を不等号で表してください。 |
4. | nが自然数のとき、√(20/n) が整数となるnを求めてください。 |
5. | 面積が2021m2の長方形の土地があります。縦の長さをam、横の長hさをbmとすると、a、bは整数で、a<b です。このとき、横の長さは縦の長さの何倍ですか。 |
JUGEMテーマ:学問・学校
|
|||||||||
? 規則 自然数nを素因数分解したとき、 素数の個数をP(n)とする。 ? 例示 例えば、 P(120)=P(23×3×5)=5 ? 問題 P(59)x2-P(286)x-P(140)=0 を解け。 |
JUGEMテーマ:学問・学校
a | × | −3 | = | −3b | |
b | −2 | = | −2a | ||
積 ab | 積 6 | 和 -2a-3b | |||
JUGEMテーマ:学問・学校
(√a)2=√(a2)=a | 根号の2乗 |
√(a2b)=a√b | 根号内の最小化@ |
2√a+3√a-√a=4√a | たし算・ひき算 |
√a×√b=√(ab) | かけ算 |
√a/√b=√(a/b) | わり算 |
1/√a=√a/(√a×√a)=√a/a@ | 分母の有理化@ |
a | b | c | 因数分解 | 平方完成 | 解の公式 | 例 |
2以上 | - | - | △ | - | 〇 | ? 2x2+7x+3=0 |
1 | 偶数 | - | △ | 〇 | 〇 | ? x2+2x-3=0 |
1 | 奇数 | 偶数 | △ | - | 〇 | ? x2+5x-24=0 |
JUGEMテーマ:学問・学校
JUGEMテーマ:学問・学校
整数 | @0 ±1 ±2 ±3 … | @0から1ずつ増加・減少した数 |
偶数 | @0 ±2 ±4 ±6 … | 2で割り切れる整数(0を含む) |
奇数 | @±1 ±3 ±5 … | 2で割り切れない整数 |
自然数 | @1 2 3 4 5 … | @正の整数 |
素数 | @2 3 5 7 11 13 … | @正の約数が2つの自然数 |
平方数 | @1 4 9 16 25 … | @(自然数)2 の数 |
分数 | 1/12+1/15=5/60+4/60=9/60=3/20 | |
無理数 | √75=√(3×52)=5√3 | |
2次方程式 | x2-5x+6=0 6=2×3,
5=2+3 から、 (x-2)(x-3)=0 x=2, 3 |
|
確率 | さいころ1個を投げたとき、素数の目が出る確率 対象の場合の数:2, 3, 5 の3通り 全ての場合の数:1〜6 の6通り 確率=3/6=1/2 |
a)abc abd ―――――― b) bc bd ―――――― c d |
最大公約数=ab 最小公倍数=abcd (c,d) は互いに素 (1以外に約数なし) |
a) ab a3 a2b ―――――――― a) b a2 ab ――↓――――― b) b a b ――――↓――― 1 a 1 |
最大公約数=a 最小公倍数=aaba=a3b (1,a,1)は互いに素 (1以外に約数なし) |
JUGEMテーマ:学問・学校
? 規則 自然数aを素因数分解したとき、 素数の個数をN(a)とする。 ? 例示 例えば、 N(120)=N(23×3×5)=5 ? 問題 N(59)x2-N(286)x-N(140)=0 を解け。 |
(中央大学附属高) |
1. | ≪m≫は自然数mを素数の積で表したときの、素数の個数を表すものとします。たとえば、≪5≫=1、≪6≫=≪2×3≫=2、 ≪24≫=≪2×2×2×3≫=4 です。このとき、次の問いに答えてください。 (1) ≪50≫-≪60≫ を計算してください。 (2) ≪6≫≪x≫2-≪1000≫≪x≫-≪256≫=0 を満たす最小の自然数xを求めてください。 |
(明治大付属明治高) | |
2. | 整数nの正の約数の個数をf(n) と表すことにします。このとき、次の問いに答えてください。 (1) 2以上30以下の整数nで、f(n)=2 となるnは全部で何個ありますか。 (2) 2以上300以下の整数nで、f(n)=3 となるnは全部で何個ありますか。 |
(豊島岡女子学園高) | |
3. | 正の整数xに対して、1からxまでの整数のうち、xとの最大公約数が1であるものの個数をf(x)
とおきます。 例えばf(5) では、1から5までの整数のうち、5との最大公約数が1(=公約数が1だけ)となるのは、1, 2, 3, 4 の4つなので、f(5)=4 です。 またf(6) では、1から6までの整数のうち、6との最大公約数が1となるのは、1, 5 の2つなので、f(6)=2 です。次の問いに答えてください。 (1) f(15)、f(16)、f(17) をそれぞれ求めてください。 (2) p,qを互いに異なる素数とするとき、 ? f(p) をpを用いて表してください。 ? f(pq) をf(p)、f(q) を用いて表してください。 |
()渋谷教育学園幕張高) | |
4. | 10から100までの自然数xに対して、xを素因数分解したときの2の個数を<x>で表すことにします。例えば、<40>=<2×2×2×5>=3
です。このとき、次の問いに答えてください。 (1) <96>を求めてください。 (2) 袋の中に10から100までの自然数が1つずつ書かれたカードが入っており、その中から1枚だけカードをひくこととします。ひいたカードに書かれた数をxとするとき、<x>=2 となる確率を求めてください。 |
(中央大杉並高) |
|
5. | 正の整数をxとし、[x] はxの正の約数の個数を表すものとします。例えば、6の正の約数は、 1, 2, 3, 6 の4個なので、[6]=4 となります。0<x<10 のとき、[x]2-[x]-2=0 を満たすxの値をすべて求めてください。 |
(立命館高) |
1. | (1) ≪50≫-≪64≫ =≪2×52≫-≪26≫ =3-6=-3 ・・・(答) (2) ≪6≫≪x≫2-≪1000≫≪x≫-≪256≫=0 ≪2×3≫≪x≫2-≪23×53≫≪x≫-≪28≫=0 2≪x≫2-6≪x≫-8=0 ≪x≫2-3≪x≫-4=0 因数分解する。 (≪x≫+1)(≪x≫-4)=0 ≪x≫は自然数なので、 ≪x≫=4 最小の自然数xは、≪x≫=≪24≫=4 x=24=16 ・・・(答) |
|||
2. | f(n)
=f(素数a×素数b×素数c× …) =(a+1)(b+1)(c+1)… 例: f(12)=f(22×31)=(2+1)(1+1)=6 (個) (1) f(n)=2 から、 f(n)=f(素数1)=(1+1)=2 2≦n≦30 で、素数1 となるnは、 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 (答) 10個 (2) f(n)=3 から、 f(n)=f(素数2)=(2+1)=3 2≦n≦300 で、素数2 となるnは、 22, 32, 52, 72, 112, 132, 172 (答) 7個 |
|||
3. |
(1) f(15) のとき、15=1×3×5 から、 (n,15)の公約数が1だけとなる場合は、 n=1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14 の8個 f(15)=8 ・・・(答) (n,16)の場合は、 n=1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 の8個 f(16)=8 ・・・(答) (n,17)の場合は、 n=1, 2, 3, … , 16 の16個 f(17)=16 ・・・(答) (2) ? p が素数のとき、約数が1だけになる場合は、 n=1, 2, 3, … , (p-1) なので、(p-1)個 f(p)=p-1 ・・・(答) f(15)=f(3×5) を考える。3と5は互いに異なる素数である。 (n,15)の約数が1だけになる場合は、 次のnから、3の倍数4個と5の倍数2個を除いた数である。 n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 したがって、 f(15)=(15-1)-(3の倍数の個数+5の倍数の個数) =(15-1)-(15/3-1+15/5-1) 3と5はpとqに対応するので、 f(pq)=(pq-1)-(pq/p-1+pq/q-1) =pq-1-(q+p-2) =pq-q-p+1 =q(p-1)-(p-1) =(p-1)(q-1) f(p)=p-1 から、 =f(p)f(q) ・・・(答) |
|||
4. |
(1) <96>=<25×3>=5 ・・・(答) (2) カードは91枚あるので、 最大の場合の数Nは、N=91 (通り) 対象の場合の数nを求める。 10≦x≦100であり、 <x>=2 となる数は、(2×2)の倍数で、「4×奇数」である。 4×3=12 4×5=20 4×7=28 4×9=36 4×11=44 4×13=52 4×15=60 4×17=68 4×19=76 4×21=84 4×23=92 4×25=100 から、対象の場合の数は、n=12 (通り) よって確率pは、p=n/N=12/91 ・・・(答) |
|||
5. | [x]2-[x]-2=0 を因数分岐する。 ([x]+1)([x]-2)=0 [x]>0 から、 [x]=2=[素数1] 0<x<10 を満たす素数xは、 2, 3, 5, 7 ・・・(答) |
JUGEMテーマ:学問・学校
|
|||||||||
1. | 0, 1, 2, 3, 4, 5 と書かれた6枚のカードがあります。その中からカードを1枚取り出し、そのカードに書かれた数を a としてもとにもどします。もう一度、その中からカードを1枚取り出し、そのカードに書かれた数を
b とします。 このとき、a+b が素数になる確率を求めてください。 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(神奈川県高) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. | 1から6までの数字を1つずつ書いた6枚カードがあります。この6枚のカードをよく切ってから同時に2枚引くとき、引いたカードに書いてある2つの数の公約数が1しかない確率を求めてください。
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(静岡県高) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. | 1〜6の数字が書かれた玉が6個が入っている袋があります。この袋の中から、同時に2個の玉を取り出すとき、素数の玉と素数以外の玉が1個ずつある確率を求めてください。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(大分県高 改題) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. | 2つの袋A、Bがあり、袋Aの中には、1, 3, 5, 7の数字が1つずつ書かれた4個の玉が、袋Bの中には、2, 4, 6, 8の数字が1つずつ書かれた4個の玉が入っています。 この2つの袋の中からそれぞれ玉を1個ずつ取り出すとき、袋Aから取り出した玉に書かれた数を a 、袋Bから取り出した玉に書かれた数を b とします。このとき、a+b の値が素数になる確率を求めてください。 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(愛媛県高 改題) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. | 箱Aと箱Bがあります。箱Aには2, 5, 6の数が書かれたくじが1本ずつ入っており、箱Bには1, 3, 4, 7と書かれたくじが1本ずつ入っています。箱Aから引いたくじに書かれている数をa、箱Bから引いたくじに書かれている数をbとします。 積abが素数となる確率を求めてください。 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(京都府高 改題) |
1. | カードをもとに戻すので、全ての並べ方は、 N=6×6=36 (通り) …? 0≦a≦5 0≦b≦5 から、0≦a+b≦10 この条件を満たす素数は、 a+b=2, 3, 5, 7 a+b が素数になる並べ方(a,b)は、 (0,2か3か5) 3通り (1,1か2か4) 3通り (2,0か1か3か5) 4通り (3,0か2か4) 3通り (4,1か3) 2通り (5,0か2) 2通り n=3×3+4+2×2=17 (通り) …? ??から確率は、p=n/N=17/36 ・・・(答) 対象の場合を組合せで数え、並べ方に直す。 a+b が素数になる並べ方は、 <0,2か3か5>の組から、3×2=6 (通り) <1,1か2か4>の組から、1+2×2=5 (通り)[ <2,3か5>の組から、2×2=4 (通り) <3,4)の組から、1×2=2 (通り) 対象の場合の数は、n=6+5+4+2=17 (通り) p=n/N=17/36 ・・・(答) |
|
2. | 全ての組合せは、6枚から2枚引くので、 N=(6×5)/(2×1)=15 (通り) …? 対象の組合せを求める。 公約数が1だけの組合せは、 <1,2か3か4か5か6> 5通り <2,3か5> 2通り <3,4か5> 2通り <4,5> 1通り <5,6> 1通り n=5+2+2+1+1=11 (通り) …? ??から確率は、p=n/N=11/15 ・・・(答) <2,4> 2通り <3,6> 1通り <4,6> 1通り n=2+1+1=4 (通り) p=1-n/N=1-4/15=11/15 ・・・(答) |
|
3. | ?〜?の玉のうち、 素数の玉は、 ? ? ? 素数でない玉は、? ? ? 素数の玉と素数でない玉の並べ方は、 <?,?か?か?>の組から、6通り <?,?か?か?>の組から、6通り <?,?か?か?>の組から、6通り 対象の場合の数nは、n=6+6+6=18 (通り) 全ての場合の数Nは、N=6×5=30 求める確率は、p=n/N=18/30=3/5 ・・・(答) 素数の玉と素数でない玉の組合せは、 <?,?か?か?>、3通り <?,?か?か?> 3通り <?,?か?か?> 3通り 対象の場合の数nは、n=3+3+3=9 (通り) 全ての場合の数Nは、N=6×5/(2×1)=15 (通り) 求める確率は、p=n/N=9/15=3/5 ・・・(答) |
|
4. | a+b の範囲を求める。 1≦a≦7 2≦b≦8 から、 3≦a+b≦15 a+b が素数になる場合は、 a+b=3, 5, 7, 11, 13 a+b が素数になる並べ方(a,b)は、 a=1,3,5,7 b=2,4,6,8 から、 (1,2か4か6) 3通り (3,2か4か8) 3通り (5,2か6か8) 3通り (7,4か6) 2通り 対象の場合の数は、n=3+3+3+2=11 (通り) 全ての場合の数は、4×4=16 (通り) 求める確率は、p=n/N=11/16 ・・・(答) |
|
5. | 箱Aのくじは、2か5か6の3通りで、箱Bのくじは、1か3か4か7の4通りなので、 全ての場合の数(並べ方)は、 N=3×4=12 (通り) …? 対象の場合の数nを求める。 a=2, 5, 6 b=1, 3, 4, 7 abが素数になる並べ方(a,b)は、 (2,1) 1通り (5,1) 1通り n=1+1=2 (通り) …? ??から確率は、p=n/N=2/12=1/6 ・・・(答) |
JUGEMテーマ:学問・学校
1. | 1〜12の目が出るさいころが1個あります。このさいころを1回投げるとき、目の出かたについて、(1) (2) (3)の場合の数を答えてください。 (2) 3の倍数の目の出かた (3) 奇数または素数の目の出かた |
||
2. | 正十二面体のさいころの各面に1から12までの異なる整数が1つずつ書いてあります。このさいころを1回投げたとき、一番上に書いてある数が素数となる確率を求めてください。 | ||
(お茶の水女子大附属高) | |||
3. | 大小2つのさいころを同時に1回投げ、大きいさいころの出た目の数を a 、小さいさいころの出た目の数を b とするとき、 (1) a=b となる確率を求めてください。 (2) 2a+b の値が素数になる確率を求めてください。 |
||
(三重県高) | |||
4. | 大小2つのサイコロを同時に投げます。大きいさいころの出た目の数を十の位の数とし、小さいさいころの出た目の数を一の位の数として、2桁の数をつくります。 この2桁の数が素数となる確率を求めてください。 |
||
(都立産業技術高専) |
|||
5. | 1から20までの自然数のうち、すべての素数を小さいほうから順に並べて、最初の6つの数字をそれぞれ6つの面に1つずつ書いた大小2つの立方体があります。この2つの立方体を同時に1回投げるとき、出る目の数の和が素数になる確率を求めてください。 | ||
(都立白鷗高) |
1. | (1) 12通り ・・・(答) (2) 3の倍数は、3, 6, 9, 12 から、4通り ・・・(答) (3) 奇数は、1, 3, 5, 7, 9, 11 から、6通り 素数は、2, 3, 5, 7, 11 から、5通り 奇数でしかも素数は、3, 5, 7,11 から、4通り よって、 奇数または素数は、6+5-4=7 (通り) ・・・(答)
|
||||||||||||||||||||||||||
2. | 1〜12のうち素数は、2, 3, 5, 7, 11 の5通り 全ての目の出方は、12通り 確率は、5/12 ・・・(答) |
||||||||||||||||||||||||||
3. | (1) a=b の場合は、 (a,b)=(1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6) n=6 N=6×6=36 p=6/36=1/6 ・・・(答) (2) 2a+b の範囲を求める。 2≦2a≦12、1≦b≦6 から、 3≦2a+b≦18 …? ?を満たす素数は、 2a+b=3,5,7,11,13,17 …? ?を満たす(2a,b)の並びを求める。 2a+b= 3: (2,1) 2a+b= 5: (2,3) (4,1) 2a+b= 7: (2,5) (4,3) (6,1) 2a+b=11: (6,5) (8,3) (10,1) 2a+b=13: (8,5) (10,3) (12,1) 2a+b=17: (12,5) n=1+2+3+3+3+1=13 N=6×6=36 p=13/36 ・・・(答) |
||||||||||||||||||||||||||
4. | 2桁の素数の範囲を求める。 10≦10a≦60、1≦b≦6 から、 11≦10a+b≦66 11から66の中で素数は、 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 10a+b が素数になる場合を求める。 10a=10 b=1, 3 2通り 10a=20 b=3 1通り 10a=30 b=1 1通り 10a=40 b=1, 3 2通り 10a=50 b=3 1通り 10a=60 b=1 1通り 対象の場合は、n=8 (通り) 全ての場合は、N=6×6=36 (通り) 確率は、p=n/N=8/36=2/9 ・・・(答) |
||||||||||||||||||||||||||
5. | 1から20までの中で素数は、 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 このうち、小さいほうから6個は、 2, 3, 5, 7, 11, 13 大きい立方体の目をa、小さい立方体の目をbとする。 2≦a≦13、2≦b≦13 から、4≦a+b≦26 このうち素数は、 5 ,7, 11, 13, 17, 19, 23 a+b がこれらの素数になる場合を求める。 a= 2: b=3, 5, 11 3通り a= 3: b=2 1通り a= 5: b=2 1通り a= 7: b なし a=11: b=2 1通り a=13: b なし 対象の場合は、 n=6 (通り) 全ての場合は、 N=6×6=36 (通り) 確率は、p=n/N=6/36=1/6 ・・・(答) |
JUGEMテーマ:学問・学校
方程式の例 | 方程式の解 |
5x+3=0 | x=-3/5 |
x2-3x+2=0 | (x-1)(x-2)=0 x=1, 2 |
x+y=4 (x,y:自然数)@ | (x,4-x)=(1,3), (2,2), (3,1)@ |
xy-6 (x,y:素数) | (x,y)= (2,3), (3,2) |
a | × | −3 | = | −3b | |
b | −2 | = | −2a | ||
積 ab | 積 6 | 和 -2a-3b | |||
1. | x, yは素数で、x<y のとき、xy-x-y=11 を満たす(x,y)の組を求めてください。 |
2. | 6の以下の素数 a, b があり、a<b のとき、a+b=7 となる(a,b)の組を求めてください。 |
3. | x2=y2+24 を満たす素数の組(x,y)を求めてください。 |
(市川高 改題) | |
4. | pとqはともに素数とします。p<q とするとき、p+q=40 となる (p,q) の組をすべて求めてください。 |
(早大高等学院) | |
5. | x.y.zを素数とする z=80x2+2xy-y2 を満たす(x.y,z)の組のうち、zの値が2番目に小さい組を求めてください。 |
(慶應義塾志木高) |
1. | xy-x-y=(x-1)(y-1)-1=11 (x-1)(y-1)-12 12=2×2×3、x<y から (x-1,y-1)=(1,12), (2,6), (3,4) (x,y)=(2,13), (3,7), (4,5) x,y は素数から (x,y)=(2,13), (3,7) ・・・(答) |
|||||||||||||||||||||||||||||
2. | a, bは6以下の素数で、a<b から、 (a,b)=(2,3), (2,5), (3,5) このうち、a+b=7 となるのは、 (a,b)=(2,5) ・・・(答) |
|||||||||||||||||||||||||||||
3. | x2=y2+24 因数分解する。 (x+y)(x-y)=24 x+y>0 から、x-y>0 x>y x+y=a x-y=b とする。 ab=24 a>b 24=2×2×2×3 から、 (a,b)=(24,1), (12,2), (8,3), (6,4) …? x+y=a x-y=b から、 x=(a+b)/2 y=(a-b)/2 …? ??から、 (x,y)=(25/2,23/2), (7.5), (11/2,5/2), (5,1) x,yは素数で、x>y を満たす組は、 (x,y)= (7,5) ・・・(答) |
|||||||||||||||||||||||||||||
4. | 素数 p=2, 3, 5, … と増加させる。 p+q=40 (p<q) を満たす(p,q)の組は、 (p,q)=(p,40-p) =(3,37), (11,29), (17,23) ・・・(答) |
|||||||||||||||||||||||||||||
5. | z=80x2+2xy-y2 因数分解する。
zは素数なので約数をもたない。 8x+y≧18 なので、10x-y=1 y=10x-1 …? zもxで表すため、?を?に代入する。 z=8x+y=8x+10x-1=18x-1 …? ??から、 (x,y,z)=(x,10x-1,18x-1) x=2,3,5, … =(2,19,35). (3,29,53), (5,49,89), (7,69,125), (11,109,197), (13,129,233), … 素数の組は、 (x,y,z)=(3,29,53), (11,109,197), … zが2番目に小さい組は、 (x,y,z)=(11,109,197) ・・・(答) |
JUGEMテーマ:学問・学校
a | b | c | 因数分解 | 平方完成 | 解の公式 | 例 |
2以上 | - | - | △ | - | 〇 | 2x2+7x+3=0 |
1 | 偶数 | - | △ | 〇 | 〇 | x2+2x-3=0 |
1 | 奇数 | 偶数 | △ | - | 〇 | x2+5x-24=0 |
1. | 6x2+5x-4=0 |
2. | x2+3x-7=0 |
3. | x2-6x-72=0 |
4. | 2x2+3x-4=0 |
5. | x2+7x-144=0 |
1. | 6x2+5x-4=0 x2の係数:6=1×6, 2×3 定数項 :-4=-1×4, -2×2 xの係数 :2×4+2×(-1)=6 x=-4/3, 1/2 ・・・(答) 6x2+5x-4=0 x={-5±√(52+4×6×4)}/(2×6) =(-5±√121)/12 =(-5±11)/12 =-4/3, 1/2 ・・・(答) |
|||||||
2. | 解の公式で解く。 x2+3x-7=0 x={-3±√(32+4×1×7)}/2 =(-3±√37)/2 ・・・(答) |
|||||||
3. | x2-6x-72=0 xの係数が偶数なので、平方完成で解く。 x2-6x=72 6の半分の2乗をたす。 x2-6x+32=72+32 (x-3)2=81 x-3=±9 x=3±9 x=-6, 12 ・・・(答) |
|||||||
4. | 2x2+3x-4=0 因数分解ができないので、解の公式で解く。 x={-3±√(32+4×2×4)}/(2×2) =(-3±√41)/4 ・・・(答) |
|||||||
5. | x2+7x-144=0 2数の和が奇数(7)、2数の積が偶数(-144)なので、因数分解できるとすると、 -144=-(3×48)=-(9×16) から、 -9×16=-144 -9+16=7 よって、(x-9)(x+16)=0 x=-16, 9 ・・・(答) x2+7x-144=0 x={-7±√(72+4×1×144)}/2 =(-7±√625)/2 =(-7±25)/2 =-16, 9 ・・・(答) |
JUGEMテーマ:学問・学校
(√a)2=√(a2)=a | 根号の2乗 |
√(a2b)=a√b | 根号内の最小化 |
2√a+3√a-√a=4√a | たし算・ひき算 |
√a×√b=√(ab) | かけ算 |
√a/√b=√(a/b) | わり算 |
1/√a=√a/(√a×√a)=√a/a@ | 分母の有理化@ |
b=整数 | b≧0 | |
b=偶数 | b≧0 (偶数に0を含む) | |
b=奇数 | b≧1 | |
b=自然数 | b≧1 | |
b=素数 | n≧2 |
1. | 2つの整数 1271と1517 の最大公約数を求めてください。 |
(お茶の水女子大附属高) | |
2. | √(10-n) が正の整数となるような、正の整数nの値をすべて求めてください。 |
(栃木県高) | |
3. | √(540/n) の値が整数となるような、自然数nは全部で何通りありますか。 |
(埼玉県高) | |
4. | √(2022-6n) が自然数となるような正の整数のうち、最も小さいnの値を求めてください。 |
(東大寺学園高) | |
5. | √(n2+55) が自然数となるような自然数 n の値を求めてください |
(福岡大付属大濠高) |
1. | 1271の約数を見つける。 352=1225<1271<362=1296 から、 1271を35以下の素数で割っていく。 1271/31=41 1271=31×41 …? 1517を31と41で割る。 1517/31=48.… 1517/41=37 1517=37×41 …? ??から、最大公約数は、41 ・・・(答) |
2. | 10-n>;0 で、nは自然数から、 1≦n<10 …? √(10-n)=自然数 となるのは、 10-n=12, 22, 32, … n=10-12, 10-22, 10-32, … ?から、n=9, 6, 1 (答) n=1, 6, 9 |
3. | 540/n=(22×32×15)/n=自然数2 となるのは、 n=15, 22×15, 32×15, 22×32×15 (答) 4通り |
4. | 2022-6n=6(337-n)=自然数2 になるには、 337-n=6N2 (Nは自然数)になればよい。 n=337-6N2≧1 から、N2≦336/6=56 1≦N2≦56 を満たすN2は、 N2=12, 22, …, 62, 72 n=337-6N2=337-6×12, 337-6×22,…、337-6×72 よって、nの最小値は、 n=337-6×72=337-294=43 ・・・(答) |
5. | √(n2+55) が自然数なので、 n2+55=m2 (m>n) と書ける。 m2-n2=55 (m+n)(m-n)=55 m+n=a, m-n=b (a>b) とおく。 ab=55=1×55=5×11 a,bは自然数なので、 (a,b)=(11,5),(55,1) a,bを戻す。 m+n=11 m-n=5 から、(m,n)=(8,3) m+n=55 m-n=1 から、(m,n)=(28,27) (答) n=3,27 |
JUGEMテーマ:学問・学校
1. | 連続する2つの素数の和が78のとき、2数の差の絶対値を求めてください。 | |
2. | p と q はともに素数とします。 p<q とするとき、p+q=40 となる p、q の組をすべて求め、答えを(p,q)の形で示してください。 | |
(早大高等学院) | ||
3. | 2つの素数 a、b について、積 ab の正の約数の和が112となるとき、ab の値を求めてください。 | |
(筑波大附属高) | ||
4. |
|
|
(東大寺学園高) | ||
5. | n2-22n+96 が素数になるような自然数nをすべて求めてください。 | |
(西大和学園高) |
1. | 2つの素数の和が78なので、 2数の平均は、78/2=39 39の前後で、連続すう2つの素数をさがす。 37+41=78 から、求める素数は、37と41 2数の差の絶対値は、41-37=4 ・・・(答) |
|
2. | q=40-p>p 2p<40 p<20 q=40-p ( p は素数、2≦p<20) (p,q)=(2,38),(3,37),(5,35),(7,33), (11,29),(13,27),(17,23),(19,21) これらのうち、qも素数である組は、 (p,q)=(3,37),(11,29),(17,23) ・・・(答) |
|
3. | 積 ab の正の約数は、1、a、b、ab
から、 1+a+b+ab=112 左辺を因数分解する。 (a+1)(b+1)=7×24 積の組合せは、 (a+1,b+1)=(7,16),(14,8),(28,4),(56,2),(112,1) (a,b)=(6,15),(13,7),(27,3),(55,1),(111,0) (a,b)は素数なので、(a,b)=(13,7) よって、ab=13×7=91 ・・・(答) |
|
4. | 452=2025<2173<502=2500 範囲をせばめる。 462=2116<2173<472=2209 2173は、素数の積なので、46以下の約数をもつ。46以下の素数をさがす。 2173/43=50.… 不適 2173/41=53 (答) 2173=41×53 |
|
5. | n2-22n+96 平方完成する。 =(n2-22n+112)-112+96 =(n-11)2-25 =(n-11+5)(n-11-5) =(n-6)(n-16)=S とする。 2式の積の一方が約数になると、Sは素数にならない。 したがって、(n-6)と(n-16)の一方が、1か-1になる。 n-6=1 :n=7 S=(1)(n-16)=-9<0 n-6=-1:n=5 S=(-1)(n-16)=11 素数 n-16=1:n=17 S=(n-6)(1)=11 素数 n-16=-1:n=15 S=(n-6)(-1)=-9<0 (答) n=5, 17 |
JUGEMテーマ:学問・学校
20 21 22 |
× | 30 31 |
= 6 (個) | (参考) 20=1 2n/2n=2n-n=20=1 |
1. | 〔n〕は、自然数 n の正の約数の個数を表すものとします。例えば、6の正の約数は、1, 2, 3, 6 なので、〔6〕=4 です。〔504〕を求めてください。 |
2. | 〔6〕=4 は、6の正の約数の個数4を表すものとします。 (1) 〔72〕-〔〔72〕〕-〔18〕 の値を求めてください。 (2) 〔x〕=15 となる正の整数 x のうち、最小のものを求めてください。 |
(市川高) | |
3. | [6]=4 は、6の正の約数の個数4を表すものとします。正の整数をxとし、[x] はxの正の約数の個数を表すものとします。0<x<10 のとき、[x]2-[x]-2=0 を満たすxの値をすべて求めてください。 |
(立命館高) | |
4. | 1から50までの整数のうち、2でも3でも割り切れないものはいくつあるか答えてください。 |
(函館ラ・サール高) | |
5. | 8個の約数を持つ最も小さい正の整数を求めてください。 |
(筑波大附属高) |
1. | [504]=[23×32×71] =(3+1)(2+1)(1+1)=24 (個) ・・・(答) |
||||||
2. | (1) 〔72〕=〔23×32〕=(3+1)(2+1)=12 〔〔72〕〕=〔12〕=〔22×31〕=(2+1)(1+1)=6 〔18〕=〔21×32〕=(1+1)(2+1)=6 〔72〕-〔〔72〕〕-〔18〕 =12-6-6=0 ・・・(答) (2) 〔x〕=15=3×5=(2+1)(4+1) から、 x=〇2〇4 になる(〇は異なる素数)。 x=2234=324 x=3224=144 (最小) (答) x=144 |
||||||
3. | [x]2-[x]-2=0 因数分解する。 ([x]+1)([x]-2)=0 [x]>0 から、[x]=2=(1+1) 0<x<10 の素数は、 x=21, 31, 51, 71 =2, 3, 5, 7 ・・・(答) |
||||||
4. |
|
||||||
5. | 求める自然数をnとすると、 n=2○3○5○7○ … で表せる。 ? n=2a,3a,5a … のとき、 a+1=8 から、a=7 n=27=128 が最小 ? n=2a3b のとき、 (a+1)(b+1)=8 から、 (a,b)=(1,3),(3,1) n=2133=54 n=2331=24 が最小 ? n=2a3b5c のとき、 (a+1)(b+1)(c+1)=8 から、 a=b=c=1 n=21×31×51=30 ? n=2a3b5c7d … のとき、 (a+1)(b+1)(c+1)(d+1)…=8 となる自然数 a,b,c,d,… はない。 ?〜?で、最小の自然数は24 ・・・(答) |
JUGEMテーマ:学問・学校
a)abc abd ―――――― b) bc bd ―――――― c d |
最大公約数=ab 最小公倍数=abcd (c,d) は、 1以外に約数なし。 |
a) ab a3 a2b ―――――――― a) b a2 ab ――↓――――― b) b a b ――――↓――― 1 a 1 |
最大公約数=a 最小公倍数=aaba=a3b (1,a,1)は、 1以外に約数なし。 |
1. | 221/323 を簡単にしてください。 |
2. | 1/12-1/15-1/18 を計算してください。 |
3. | 23/24, 15/16, 31/32 を不等号で表してください。 |
4. | nが自然数のとき、√(20/n) が整数となるnを求めてください。 |
5. | 面積が2021m2の長方形の土地があります。縦の長さをam、横の長hさをbmとすると、a、bは整数で、a<b です。このとき、横の長さは縦の長さの何倍ですか。 |
1. | 142==196<221<152=225 から、221が素数でなければ、14以下の約数をもつ。 221/13-17 よって、221=13×17 323/13=24.… 323を13と17でわる。 323/13=24.… 323/17=19 よって、323=17×19 221/323=(13×17)/(17×19)=13/19 ・・・(答) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. | 1/12-1/15-1/18 を計算するため、(12,15,18)の最小公倍数を求める。
=15/180-12/180-10/180 =-7/180 ・・・(答) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. | 分母を共通にするため、(24,16,32)の最小公倍数を求める。
=(23×4/96,15×6/96,31×3/96) =(92/96,90/96,93/96) よって、15/16<23/24<31/32 ・・・(答) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. | 442=1936<2021<452=2025 から、2021が素数でないとすると、44以下の約数をもつ。 2021を44以下の素数で割っていく。 2021/43=47 よって、2021=43×47 (答) 47/43 (倍) |
JUGEMテーマ:学問・学校
自然数 | 約数 | 約数の個数 | 素数の判定 |
1 | 1 | 1 | × |
2 | 1, 2 | 2 | 〇 |
3 | 1, 3 | 2 | 〇 |
4 | 1, 2, 4 | 3 | × |
5 | 1, 5 | 2 | 〇 |
6 | 1, 2, 3, 6 | 4 | × |
7 | 1, 7 | 2 | 〇 |
8 | 1, 2, 4, 8 | 4 | × |
9 | 1. 3, 9 | 3 | × |
10 | 1, 2, 5, 10 | 4 | × |
整数 | @0 ±1 ±2 ±3 … | @0から1ずつ増加・減少した数 |
偶数 | @0 ±2 ±4 ±6 … | 2で割り切れる整数(0を含む) |
奇数 | @±1 ±3 ±5 … | 2で割り切れない整数 |
自然数 | @1 2 3 4 5 … | @正の整数 |
素数 | @2 3 5 7 11 13 … | @約数が2つの自然数 |
平方数 | @1 4 9 16 25 … | @(自然数)2 の数 |
分数 | 1/12+1/15=5/60+4/60=9/60=3/20 | |
無理数 | √75=√(3×52)=5√3 | |
2次方程式 | x2-5x+6=0 6=2×3, 5=2+3 から、 (x-2)(x-3)=0 x=2, 3 |
|
確率 | さいころ1個を投げたとき、素数の目が出る確率 対象の場合の数:2, 3, 5 の3通り 全体の場合の数:1〜6 の6通り 確率=3/6=1/2 |
1. | 0から20までの整数があります。次の個数を答てください (1) 自然数 (2) 偶数 (3) 3の倍数 (4) 素数 |
2. | 1から100までの整数のうち、素数は何個ありますか。 |
3. | 1/16-1/24 を計算してください。 |
4. | nが自然数のとき、√(20n) が最小の整数となるnを求めてください。 |
5. | 次の数列で、□の数字を答てください。 (1) 1, 4, 9, □, 25, … (2) 11, □, 17, 19, 23, … (3) 3, 5, □, 9, 11, … (4) 4, 9, 25, 49, □, … |
6. | 1から6の目が出る大小のさいころが2個あり、大の目をa、小の目をbとします。2個のさいころを同時に1回投げたとき、大小の目の和が素数になる場合は何通りですか。 |
1. | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (1) 自然数 20個 (2) 偶数 11個(0は偶数) (3) 3の倍数 6個(3 6 9 12 15 18) (4) 素数 8個(2 3 5 7 11 13 17 19) |
|||
2. | 1〜100までの素数は、25個
|
|||
3. | 1/16-1/24 分母の最小公倍数48で通分する。 =3/48-2/48 =1/48 ・・・(答) |
|||
4. |
|
|||
5. | (1) 1, 4, 9, [16], 25, … (自然数)2 (2) 11, [13], 17, 19, … 素数 (3) 3, 5, [7], 9, 11, … 奇数 (4) 4, 9, 25, 49, [121], … (素数)2 |
|||
6. | a+b が素数になる場合は、 a+b=2,3,5,7,11 この組合せを、[a,b]で表す。 [a,b]=[1,1] [1,2] [1,4)] [1,6] 並べ方7通り [2,3] [2,5] 並べ方4通り [3,4] 並べ方2通り [5,6] 並べ方2通り a,bの組合せを、a,bの並べ方にすると、 7+4+2+2=15 (通り) ・・・(答) |
JUGEMテーマ:学問・学校
素数_基礎知識 素数_分数の計算 素数_約数の個数 素数_積と和 素数_無理数の計算 素数_2次方程式 素数_方程式の整数解 素数_確率の計算1 素数_確率の計算2 素数_計算のルール |
|
素数_規則集1 素数_規則集2 素数_規則集3 素数_規則集4 素数_規則集5 素数_まとめ2 素数_まとめ3 素数_まとめ4 素数_まとめ5 |
まとめ1 まとめ2 まとめ3 まとめ4 まとめ5 |
1 . |
3-√2 の整数部分をa、小数部分をbとするとき、a2-2ab+b2-2a+2b+1 の値を求めてください。 |
(久留米大附設高) | |
2 |
(√5+2)/√3 の整数部分をaするとき、 (√5+2-a)(√5-2+a) の値 |
(明治大付属中野高) | |
3. | √2+√3 の整数部分をa、小数部分をbとするとき、a-b の小数部分を求めてください。 |
(ラ・サール高) | |
4. | 正の数xの整数部分を[x]で表します。 例えば、[5]=5, [7.32]=7, [√10=3 です。 このとき、 [√1]+[√2]+[√3]+[√4]+[√5]+…+ [√48]+[√49]+[√50] の値を求めてください。 |
巣鴨高) |
1. | 2次方程式 √3x2+ax-24√3=0 の解の1つが-6のとき、 '1) 定数aの値を求めてください。 (2) 他の解を求めてください。 |
||||||
(同志社高) | |||||||
2. |
|
||||||
(関西学院高等部) | |||||||
3. | 2次方程式 (x-√3-1)(x-√3+1) の2つの解をa, bとするとき、(a+2)(b+2) の値を求めてください。 | ||||||
(立命館高) |
範囲 | [√x] | 個数 | [√x]×個数 | |||||
√1 | ≦x< | √4 | 1 | 3 | 3 | |||
√4 | ≦x< | √9 | 2 | 5 | 10 | |||
√9 | ≦x< | √16 | 3 | 7 | 21 | |||
√16 | ≦x< | √25 | 4 | 9 | 36 | |||
√25 | ≦x< | √36 | 5 | 11 | 55 | |||
√36 | ≦x< | √49 | 6 | 13 | 78 | |||
√49 | ≦x≦ | √50 | 7 | 2 | 14 | |||
合計 | 217 |
{ | √2x+y/√3=3√5 | …? |
x/√2-√3y=-2√5 | …? |
JUGEMテーマ:学問・学校
問題 | 条件 | 値を求める式 |
値を代入 | x=3 y=-2 | 4xy×y2/2 |
条件式を変形 | x=√5-2 | x2+4x+5 |
対称式から | x=√6+2 y=√6-2 | x2y+xy2 |
因数分解を利用@ | x=√5+√2 y=√5-√2: | x2-y2 |
方程式から | x2-x-3=0 x=a,b (a>b) | a-b |
整数・小数部分 | √17 の小数部分が a@ | (a+1)(a+7): |
1. | x=√2+3 のとき、x2-6x+9 の値 |
(奈良県高) | |
2. | x=2-3√2 のとき、x2-4x-15 の値 |
(日大習志野高) | |
3. | x=(√2-2)/2 のとき、x2+2x+1/(x+1)+1 の値 |
(立命館高) |
1. | a=3√2+1, b=3√2-1 のとき、 (a2-4ab+b2)/(a-b) の値 |
(都立新宿高 | |
2. | x=√14+√13, y=√14-√13 のとき、 1/x2+1/y2 の値 |
(関西学院高) | |
3. | x=(3+√11)/2, y=(3-√11)/2 のとき、 (x4-y4)/12 の値 |
(大阪星光学院高) |
JUGEMテーマ:学問・学校
例1:分母と同じ数をかける。 1/√a 分子と分母に√a をかける。 =√a/(√a×√a)=√a/a |
例2:分母が2乗の差になる式をかける。 1/(√a+√b) 分子と分母に (√a-√b) をかける。 =(√a-√b)/{(√a+√b)(√a-√b)} =(√a-√b)/(√a2-√b2) ← 和と差の積=2乗の差 =(√a-√b)/(a-b) |
1. | √27-6/√3 |
(鳥取県高) | |
2. | 4(1-√3)/√2-(√3-√2)2 |
(和洋国府台女子高) | |
3. | √5/(5√2-2√5)-√2/(5√2+2√5) |
(お茶の水女子大附属高) |
(a+b)(a-b)=a2-b2 | 和と差の積 |
(a+b)2=a2+2ab+b2 | 和の2乗 |
(a-b)2=a2-2ab+b2 | 差の2乗 |
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab@ | 同類項をまとめる@ |
(a+b)(X+Y)=aX+aY+bX+bY@ | 順に掛ける |
分配法則 a(b+c)=ab+ac aを、bとcに分配してかける。 |
例: | |
1. | (2-√6)2+√24 | |
(山形県高 | ||
2. | (√5+√2)2-(√5-√2)2 | |
(愛知県高) | ||
3. | (7+√7)(√7-1)+(3-√7)2 | |
(明治学院高) | ||
4. | √48-√27/4-15/√12+{(√3-1)/√2}2 | |
(青雲高) | ||
5. | (1) A=x+y, B=xy とするとき、x4+y4 をA, Bを用いて表してください。 求めてください。 |
|
(渋谷教育学園幕張高) |
JUGEMテーマ:学問・学校
1. | 5<√(7n)<8 となるような自然数nの個数を求めてください。 |
(近畿大附属高 | |
2. | √(594n) が自然数となるような最小の自然数nを求めてください。 |
(函館ラ・サール高) | |
3. | √{28(118-3n)} が整数となるような自然数nの値をすべて求めてください。 |
(西大和学園高) |
(√a)2=√(a2)=a | 根号の2乗 |
√(a2b)=a√b | 根号内の最小化 |
2√a+3√a-√a=4√a | たし算・ひき算 |
√a×√b=√(ab) | かけ算 |
√a/√b=√(a/b) | わり算 |
1/√a=√a/(√a×√a)=√a/a@ | 分母の有理化@ |
1. | √50-√6×√3+16/√2 |
(江戸川学園取手高 | |
2. | (√125/√50){6-(2√5)/(5√2)}-√45(√18-4√8) |
(お茶の水女子大附属高) | |
3. | (-√3a4b3/2)2÷{-2a/(1.5b2)}3÷(-3ab3/4)4 |
(中央大附属高) |
かけ算 | a2a3=a2+3=a5 | たす |
わり算 | a5/a3=a5-3=a2 | ひく |
累乗の累乗・ | (a2)3=a2×3=a6 | かける |
(2a)3=23a3=8a3 | くばる | |
(4a2)3=43(a2)3=64a6 | くばる・かける | |
0乗 マイナス乗 偶数乗 奇数乗 |
a0=1 (∵ an-n=an/an=1) | |
a-2=1/a2 (∵ a1/a3=a-2)@: | ||
(-1)偶数=1 | ||
(-1)奇数=-1 |
JUGEMテーマ:学問・学校
(a か ¬a) で [(a→b) で (a→ ¬b)] → ¬a@ |
実数 有理数(整数/整数で表せる)0/1 ±2/1 1/2 2/3 …@ 整数 0 ±1 ±2 ±3 … 自然数 1 2 3 … 素数 2 3 5 7 11 … 偶数 0 ±2 ±4 ±6 … 奇数 ±1 ±3 ±5 … 分数 1/2 1/3 1/4 … 小数 有限小数 0.5=1/2 循環小数 0.333…=1/3 (3が無限に続く) 無理数(循環しない無限小数) √2=1.4142… π=3.14159… |
JUGEMテーマ:学問・学校
{ | √8x+√3y=1 | …? |
√3x-√2y=2 | …? |
1. | 2x2-√3x-3=0 | |||||
(法政大高) | ||||||
2. | 7x2-4√2x+1=0 | |||||
(開成高) | ||||||
3. |
|
|||||
(東海高) | ||||||
4. |
|
|||||
(関西学院高等部) | ||||||
5. | 2次方程式 x2-2x+1-2a=0 の1つの解が x=1+√2 のとき、定数aの値を求めてください。 |
|||||
(國學院大久我山高) |
1. | 2x2-√3x-3=0 解の公式から、 x={√3±√(√32+4×2×3)}/(2×2) =(√3±√27)/4 =(√3±3√3)/4 x=-√3/2, √3 ・・・(答) |
||||||
2. | 7x2-4√2x+1=0 解の公式から、 x={4√2±√((32-28)}/(2×7) =(4√2±2)/14 =(2√2±1)/7 ・・・(答) |
||||||
3. |
|
||||||
4. |
?×√2:x-√6y=-2√10 …? yを消去する。 ?×√6:6x+√6y=9√10 …? ?+?:7x=7√10 x=√10 yを求める。 ?:y=3√15-√6x=3√15-√60=√15 (答) x=√10, y=√15 |
||||||
5.. | x2-2x+1-2a=0 に、x=1+√2 を代入する。 (1+2√2+2)-(2+2√2)+1-2a=0 2-2a=0 a=1 ・・・(答) x2-2x+1-2a=0 (x-1)2 の形にする。 x2-2x+1=2a (x-1)2=2a ・・・? 解の1つが、x=1+√2 から、 x-1=√2 ?に代入する。 2=2a a=1 ・・・(答) |
JUGEMテーマ:学問・学校
(長野県高) |
1. | (4-√5) の整数部分をa、小数部分をbとするとき、 (3a-b)(b+2) の値を求めてください。 |
(都立国分寺高) | |
2. | √2022 の整数部分をa、小数部分をbとするとき、(a-1)/b の値を求めてください。 |
(慶應義塾高) | |
3. | √(3a-5) の整数部分が5のとき、これを満たすaの値をすべて求めてください。 |
(日大第二高) | |
4. | 3√3 の小数部分をaとするとき、a2+10a+21 の値を求めてください。 |
(明大付属中野高) | |
5. | (1) √10の整数部分を求めてください。 (2) √nの整数部分が3以上5以下となるnの個数を求めてください。 (3) 10から100までの正の整数を考えます。それらの正の平方根の整数部分をすべて加えた値を求めてください。 |
(桐蔭高) |
1. | (4-√3) の範囲を求める。 √1<√3<√4 1<√3<2 -1をかける。 -2<-√3<-1 4をたす。 2<4-√3<3 よって、4-√3=2.… 整数部分は、a=2 小数部部は、b=4-√3-2=2-√3 (3a-b)(b+2) の値を求める。 (3a-b)(b+2) =(6-2+√3)(2-√3+2) =(4+√3)(4-√3) =16-3=13 ・・・(答) |
||
2. | √2022 の範囲を求める。 452=2025 ← (〇5)2の暗算から 442=1936 √442<√2022<√452 √2022=44.… なので、 整数部分は、a=44 小数部分は、b=√2022-44 (a-1)/b の値を求める。 (a-1)/b =43/(√2022-44) 分母を有理化する。 =43(√2022+44)/(2022-442) =43(√2022+44)/86 =(√2022+44)/2 ・・・(答) (参考) 2桁の5の倍数の2乗の暗算 a52=a(a+1)25 (a=1, 2, 3, …,9) 152=225 252=625 352=1225 452=2025 … 952=9025 |
||
3. | √(3a-5)=5.… から、 5<√(3a-5)<6 2乗する。 25<3a-5<36 5をたす。 30<3a<41 3でわる。 10<a<13.6… よって、a=11, 12, 13 ・・・(答) |
||
4. | 3√3 の整数部分と小数部分aを求める。 3√3=√27 √25<√27<√36 5<√27<6 から、 √27=3√3=5.… 3√3の整数部分は5 小数部分は、a=3√3-5 a2+10a+21 の値を求める。 a2+10a+21 因数分解する。 =(a+3)(a+7) =(3√3-2)(3√3+2) =27-4=23 ・・・(答) |
||
5. | (1) √9<√10<√16 3<√10<4 から、 √10の整数部分は、3 ・・・(答) √nの整数部分が、3以上5以下になるのは、 √n=3.… 3≦√n<4 9≦n<16 nは 7個 √n=4.… 4≦√n<5 16≦n<25 nは 9個 √n=5.… 5≦√n<6 25≦n<36 nは11個 よって、7+9+11=27 (個) ・・・(答) √10から√100までの各整数部分aを求める。 √10〜√15 a=3 6個 18 ←aの小計 √16〜√24 a=4 9個 36 √25〜√35 a=5 11個 55 √36〜√48 a=6 13個 78 √49〜√63 a=7 15個 105 √64〜√80 a=8 17個 136 √81〜√99 a=9 19個 171 √100 a=10 1個 10 aの合計は、 18+36+55+78+105+136+171+10 =609 ・・・(答) |
JUGEMテーマ:学問・学校
1. | x=√2+1 y=√2-1 のとき、y/x+x/y の値 y/x+x/y 通分する。 =(x2+y2)/xy x2+y2=(x+y)2-2xy から、 ={(x+y)2-2xy}/xy x+y=2√2 xy=1 から、 =(8-2)/1=6 ・・・(答) |
|
2. | x=√3+√2 y=√3-√2 のとき、x2y+yx2+√3 の値 x2y+yx2+√3 共通するxyでくくる。 =xy(x+y)+√3 x+y=2√3 xy=1 から、 =2√3+√3=-3√3 ・・・(答) |
|
3. | x+1/x=√5 のとき、x2+1/x2 の値 x2+1/x2 和の2乗の公式から、 =(x+1/x)2-2x(1/x) =(x+1/x)2-2 =5-2=3 ・・・(答) |
|
4. | x+y=√11 x-y=√3 のとき、x3y3 の値 2つの条件式から、xyを求める。 (x+y)2=x2+2xy+y2=11 (x-y)2=x2-2xy+y2=3 2式の差から、 4xy=8 xy=2 x3y3=8 ・・・(答) |
|
5. | x=√5+√3 x=√5-√3 のとき、 2x2y+2yx2-x-y の値 2x2y+2yx2-x-y 2xyでくくる。 =2xy(x+y)-(x+y) (x+y)でくくる。 =(x+y)(2xy-1) x+y=2√5 xy=2 から、 =2√5(4-1) =6√5 ・・・(答) |
1. | x=(√5+1)/2 y=(√5-1)/2 のとき、 3x2-4xy+3y2+x-y の値を求めてください。 |
(東大寺学園高) | |
2. | x=√11+√5+4 y=√11+√5-4 のとき、 x3y+2x2y2+xy3 の値を求めてください。 |
(慶應義塾高) | |
3. | a=1/(√3+1) b=1/(√3-1) のとき、 a3+a2b+ab2+b3 の値を求めてください。 |
(大阪星光学院高) | |
4. | x=-1+√5 のとき、 (x-1)x+x(x+1)-(x-2)x の値を求めてください。 |
(洛南高) | |
5. | x=(√2-2)/2 のとき、 x2+2x+1/(x+1)+1 の値を求めてください。 |
(立命館高) | |
6. | √3x+√2y=a √2x+√3y=b のとき、 x2-y2 の値を求めてください。 |
1. | 3x2-4xy+3y2+x-y (x-y)とxyで表す。 =3(x2-2xy+y2)+2xy+(x-y) =3(x-y)2+2xy+(x-y) x-y=1 xy==1 から、 =3+2+1=6 ・・・(答) |
2. | x3y+2x2y2+xy3 xyでくくる。 =xy(x2+2xy+y2) =xy(x+y)2 …? ここで、x=√11+√5+4 y=√11+√5-4 から、 xy=(√11+√5)2-42=16+2√55-16=2√55 x+y=2(√11+√5) ?は、xy(x+y)2 =2√55×4(√11+√5)2 =8√55(16+2√55) =128√55+16×55 =128√55+880 ・・・(答) |
3. | a3+a2b+ab2+b3 a2とb2でくくる。 =a2(a+b)+b2(a+b) (a+b)でくくる =(a+b)(a2+b2) =(a+b)(a2+2ab+b2-2ab) =(a+b){(a+b)2-2ab} …? ここで、a+b ab を求める。 a=1/(√3+1)=(√3-1)/2 b=1/(√3-1)=(√3+1)/2 から、 a+b=√3 ab=1/2 ?は、(a+b){(a+b)2-2ab} =√3(3-1)=2√3 ・・・(答) |
4. | (x-1)x+x(x+1)-(x-2)x xでくくる。 =x(x-1+x+1-x+2) =x(x+2) =x2+2x …? ここで、x=-1+√5 から、x+1=√5 両辺を2乗すると、x2+2x+1=5 ?は、x2+2x=5-1=4 ・・・(答) |
5. | x=(√2-2)/2 から、x+1=√2/2=1/√2 x2+2x+1/(x+1)+1 (x+1)で式をまとめる。 =(x+1)2-1+1/(x+1)+1 =(x+1)2+1/(x+1) x+1=1/√2 から、 =1/2+√2 ・・・(答) |
6. | x2-y2=(x+y)(x-y) から、(x+y)と(x-y)を求める。 √3x+√2y=a …? √2x+√3y=b …? ?+?:(√3+√2)(x+y)=a+b x+y=(a+b)/(√3+√2) ?-?:(√3-√2)(x-y)=a-b x-y=(a-b)/(√3-√2) x2-y2 =(x+y)(x-y) =(a+b)/(√3+√2)×(a-b)/(√3-√2) =(a+b)(a-b)=a2-b2 ・・・(答) |
JUGEMテーマ:学問・学校
問題 | 条件 | 値を求める式 |
値を代入 | x=3 y=-2 | 4xy×y2/2 |
条件式を変形 | x=√5-2 | x2+4x+5 |
対称式から | x=√6+2 y=√6-2 | x2y+xy2 |
因数分解を利用@ | x=√5+√2 y=√5-√2: | x2-y2 |
方程式から | x2-x-3=0 x=a,b (a>b) | a-b |
整数・小数部分 | √17 の小数部分が a@ | (a+1)(a+7): |
1. | x=3 y=-2 のとき、4xy×y2/2 の値を求めてください。 =2xy3 x,yを代入する。 =2×3×(-8) =-48 ・・・(答) |
||
2. | x=√5-2 のとき、x2+4x+5 の値を求めてください。 x=√5-2 2を移項する。 x+2=√5 2乗する。 x2+4x+4=5 1をたす。 x2+4x+5=6 ・・・(答) |
||
3. | x=√6+2 y=√6-2 のとき、x2y+xy2 の値を求めてください。 x2y+xy2 xyでくくる。(括る:まとめる) =xy(x+y) x+y=2√6 xy=√62-22=2 から、 =2×2√6 =4√6 ・・・(答) |
||
4. | x=√5+√2
y=√5-√2:のとき、x2-y2 の値を求めてください。 =(x+y)(x-y) x+y=2√5 x-y=2√2 から、 =2√5×2√2 =4√10 ・・・(答) |
||
5. | x2-x-3=0 x=a,b (a>b):のとき、a-b の値を求めてください。 x2-x-3=(x-a)(x-b) =x2-(a+b)x+ab=0 係数を比べる。 a+b=1 ab=-3 (a-b)2=(a+b)2-4ab=1+12=13 a>b から、a-b=√13 ・・・(答) |
||
6. | √17 の小数部分が a のとき、(a+1)(a+7) の値を求めてください。 4<√17<5 から、 √17=4.… 整数部分は4 から、 小数部分は、a=√17-4 (a+1)(a+7) =(√17-3)(√17+3) 和と差の積から、 =17-9=8 ・・・(答) |
1. | x=√7+4:のとき、x2-8x+12 の値を求めてください。 |
(大分県高) | |
2. | x=5+√3 y=5-√3 のとき、x2+2xy+y2 の値を求めてください。 |
(岐阜県高) | |
3. | x=(2+√3)/2 y=(2-√3)/2 のとき、x2-y2 の値を求めてください。 |
(巣鴨高) | |
4. | a=(1+√3)/2 b=(1-√3)/2 のとき、a2-2ab+b2 の値を求めてください。 |
(都立産業技術高専) | |
5. | a=1/4 のとき、 (1-a)/{√(a2+2a+1)+√(9a2-6a+1)} の値を求めてください。 |
(國學院大久我山高) |
1. | x=√7+4 4を移項する。 x-4=√7 2乗する。 x2-8x+16=7 4をひく。 x2-8x+12=3 ・・・(答) |
2. | x2+2xy+y2 =(x+y)2 x=5+√3 y=5-√3 から、 =100 ・・・(答) |
3. | x2-y2 =(x+y)(x-y) x=(2+√3)/2 y=(2-√3)/2 から、 =2√3 ・・・(答) |
4. | a2-2ab+b2 =(a-b)2 a=(1+√3)/2 b=(1-√3)/2 から、 =√32=3 ・・・(答) |
5. | (1-a)/{√(a2+2a+1)+√(9a2-6a+1)} 因数分解 =(1-a)/{√(a+1)2+√(3a-1)2} …? a=1/4 から、√(3a-1)2=1-3a ?式は、 (1-a)/{(a+1)+(1-3a)} =(1-a)/(2-2a) =1/2 ・・・(答) |
JUGEMテーマ:学問・学校
(a+b)(a-b)=a2-b2 | 和と差の積 |
(a+b)2=a2+2ab+b2 | 和の2乗 |
(a-b)2=a2-2ab+b2 | 差の2乗 |
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab@ | 同類項をまとめる@ |
(a+b)(X+Y)=aX+aY+bX+bY@ | 順に掛ける |
1. | (√3-√6)2-6/√2 | (東京電機大高) |
2. | (√6-√2)(√15+√5) | (土浦日大高) |
3. | (√8-√50)3÷√6+√27 | (近畿大附属高) |
4. | (√5+√10+√15)(1+√2-√3) | (中央大附属高) |
1. | (√3-√6)2-6/√2 差の2乗、分母の有理化 =3-2√18+6-6√2/2 根号内の最小化 =9-6√2-3√2 =9-9√2 ・・・(答) |
|
2. | (√6-√2)(√15+√5) √2,√5でくくる。 =√2(√3-1)×√5(√3+1) 和と差の積 =√10(3-1) =2√10 ・・・(答) |
|
3. | (√8-√50)3÷√6+√27 根号内の最小化 =(2√2-5√2)3÷√6+3√3 (ab)3=a3b3 =√23(2-5)3÷√6+3√3 =2√2×(-27)÷√6+3√3 =-54√2÷√6+3√3 √a/√b=√(a/b) =-54/√3+3√3 分母の有理化 =-18√3+3√3 =-15√3 ・・・(答) |
|
4. | (√5+√10+√15)(1+√2-√3) √5でくくる。 =√5(1+√2+√3)(1+√2-√3) 和と差の積 =√5{(1+√2)2-√32} =√5(1+2√2+2-3) =2√10 ・・・(答) |
1. | {√(-3)2+(-2)2}/(-√2)3+(√3-2)2/√23 | (都立新宿高) |
2. | {(√3+√2)2-(√3-√2)2}2 | (桐蔭学園高) |
3. | {(√5+√3)/√2}2 +{(√5+√3)/√2}{(√5-√3)/√2} -{(√5-√3)/√2}2 |
(都立国立高) |
4. | (√18-6)/√3+(√3--√2)(√3-√6) | (成蹊高) |
5. | (1+√2-√3)(1-√2-√3)-(√6-√2)2/2 | (愛光高) |
1. | {√(-3)2+(-2)2}/(-√2)3+(√3-2)2/√23 =(3+4)/(-√8)+(3-4√3+4)/√8 =-7/√8+(7-4√3)/√8 =-4√3/√8 分母の有理化 =-√3×√8/2 =-√6 ・・・(答) |
2. | {(√3+√2)2-(√3-√2)2}2 2乗の差 ={2√3×2√2)2 =(4√6)2 =16×6 =96 ・・・(答) |
3. | {(√5+√3)/√2}2 +{(√5+√3)/√2}{(√5-√3)/√2} -{(√5-√3)/√2}2 2乗の差、和と差の積に並べる。 ={(√5+√3)/√2}2 -{(√5-√3)/√2}2 +{(√5+√3)/√2}{(√5-√3)/√2} =(2√5/√2)(2√3/√2)+(5-3)/2 =2√15+1 ・・・(答) |
4. | (√18-6)/√3+(√3--√2)(√3-√6) 6=√36 =(√6-√12)+(√3--√2)(√3-√6) 順にかける。 =(√6-√12)+(3-√18-√6+√12) =3-√18 =3-3√2 ・・・(答) |
5. | (1+√2-√3)(1-√2-√3)-(√6-√2)2/2 並べ替え =(1-√3+√2)(1-√3-√2)-(√6-√2)2/2 和と差の積 =(1-√3)2-√22-{√2(√3-1}2/2 =(1-√3)2-2-(√3-1)2 =-2 ・・・(答) |
JUGEMテーマ:学問・学校