2008-09-08T08:26:38+09:00算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。得意な人は、ミスをなくそう。JUGEMhttp://mtf.z-abc.com/?eid=8965602008-09-08T08:16:55+09:002008-09-07T23:22:09Z2008-09-07T23:16:55Z

ピタゴラス数１．　２辺の長さが９ｃｍと１５ｃｍの直角三角形があります。残りの辺の長さ ｘｃｍを求めてください。ｘは自然数とします。 ２．　直角三角形の辺の長さを ａ、ｂ、ｃ （斜辺）とします。ａ2＋ｂ2＝ｃ2 を満たす自然数の組（ピタゴラス数）は、次の式か...

.ピタゴラス数
１．　２辺の長さが９ｃｍと１５ｃｍの直角三角形があります。残りの辺の長さ ｘｃｍを求めてください。ｘは自然数とします。

２．　直角三角形の辺の長さを ａ、ｂ、ｃ （斜辺）とします。ａ²＋ｂ²＝ｃ² を満たす自然数の組（ピタゴラス数）は、次の式から求めることができます。
　ａ＝ｍ²−ｎ²　（ｍ、ｎは自然数で、ｍ＞ｎ）
　ｂ＝２ｍｎ
　ｃ＝ｍ²＋ｎ²

（１） 上の３式をあてはめると、ａ²＋ｂ²＝ｃ² となることを証明してください。

（２） １≦ｍ≦４　の範囲で、ピタゴラス数 （ａ，ｂ，ｃ）をすべて求めてください。

答 え

直角三角形の辺の長さ
１．　直角三角形の３辺の長さを ａ、ｂ、ｃ （斜辺）とします。ａ＝√３、ｂ＝√５　のとき、ｃ を求めてください。

２．　長方形があります。縦が８ｃｍ、横が１５ｃｍです。対角線の長さを求めてください。

答 え


]]>http://mtf.z-abc.com/?eid=8934632008-09-05T08:38:44+09:002008-09-04T23:40:03Z2008-09-04T23:38:44Z

震源までの距離 震源Ｏから６０ｋｍ真上にＡ地点があり、Ａ地点から８０ｋｍ離れてＢ地点があります。Ａ地点とＢ地点は同じ高さです。 　震源までの距離（ｋｍ）＝８×初期微動継続時間（秒） として、次の問いに答えてください １．　Ｂ地点から震源までの距離は何...

.震源までの距離
震源Ｏから６０ｋｍ真上にＡ地点があり、Ａ地点から８０ｋｍ離れてＢ地点があります。Ａ地点とＢ地点は同じ高さです。
　震源までの距離（ｋｍ）＝８×初期微動継続時間（秒）
として、次の問いに答えてください

１．　Ｂ地点から震源までの距離は何ｋｍですか。直角三角形の辺の長さを ａ、ｂ、ｃ （斜辺）とすると、ａ²＋ｂ²＝ｃ² という関係（三平方の定理）があります。

２．　Ｂ地点の初期微動継続時間は何秒ですか。

答 え

三平方の定理の証明
１．　正三角形があります。１辺の長さは２です。垂線の長さを求めてください。

２．　直角二等辺三角形があります。２辺の長さはそれぞれ１です。斜辺の長さを求めてください。

３．　問１の三角形の面積は問２の三角形の面積の何倍ですか。

答 え

三平方の定理の証明２
△ＡＢＣ があります。ＡＢは１０ｃｍ、ＢＣは１５ｃｍ、ＣＡは１３ｃｍです。ＡからＢＣ に引いた垂線の交点をＤとします。次の問いに答えてください。

　　　

１．　ＢＤの長さを ｘ として、ＡＤを ｘ で表してください。

２．　ＤＣ の長さを １５−ｘ として、ＡＤを ｘ で表してください。

３．　ｘ を求めてください。

４．　△ＡＢＣ の面積を求めてください。

答 え


]]>http://mtf.z-abc.com/?eid=8924882008-09-04T07:37:05+09:002008-09-03T22:39:18Z2008-09-03T22:37:05Z

三角形の辺と角 三角形の形と辺の長さには、次の関係がある。 ｃ が最長のとき、 鋭角三角形　⇔　ａ2＋ｂ2＞ｃ2 直角三角形　⇔　ａ2＋ｂ2＝ｃ2 鈍角三角形　⇔　ａ2＋ｂ2＜ｃ2 　　　 なぜなら、 鋭角...

.三角形の辺と角
三角形の形と辺の長さには、次の関係がある。

ｃ が最長のとき、 鋭角三角形　⇔　ａ2＋ｂ2＞ｃ2 直角三角形　⇔　ａ2＋ｂ2＝ｃ2 鈍角三角形　⇔　ａ2＋ｂ2＜ｃ2

なぜなら、
鋭角三角形：　左図で、ａ²＋ｂ²＞ｘ²＋ｙ²＝ｃ²
鈍角三角形：　右図で、ａ²＋ｂ²＜ｘ²＋ｙ²＝ｃ²

　

例：　３辺が６ｃｍ、７ｃｍ、８ｃｍの三角形の種類は？
６²＋７²＝３６＋４９＝８５
８²＝６４　
８５＞６４　なので、鋭角三角形

素数の２乗の平方根
素数：　１７のように、その数か１でしか割り切れない数。

三平方の定理を使い１辺の長さを求めるときに、平方根の計算がある。
例：　ｃ＝√（ａ²＋ｂ²）

素因数分解しやすい数の平方根は求めやすい。
例：
√（２２５）＝√（５×４５）＝√（５×５×９）＝１５
√（５７６）＝√（４×１４４）＝√（４×４×３６）＝２４

素数² の平方根は見つけにくい。
例：
√（１２１）＝１１
√（１６９）＝１３
√（２８９）＝１７
√（３６１）＝１９

不等式から素数² の平方根を見つける。
例：　ｘ＝√（５２９）
√（５２９）＝１０√（５．２９）
１０√５＜ｘ＜１０√６
２２．３…＜ｘ＜２４．４…　なので、
ｘ が２３、２４　のうち、２乗すると９がつくのは、２３
ｘ＝２３　とすると、２３²＝５２９　よって、ｘ＝２３

よく使う平方根値　→　平方根の覚え方
√２＝１．４１４…　　　（一夜一夜）
√３＝１．７３２…　　　（人なみに）
√５＝２．２３６…　　　（富士山麓）
√６＝２．４４９…　　　（似よよく）
√７＝２．６４１７５…　（菜に虫イナゴ）


]]>http://mtf.z-abc.com/?eid=8916962008-09-03T11:19:34+09:002008-09-03T02:23:09Z2008-09-03T02:19:34Z

ピタゴラス数 ピタゴラス数：　三平方の定理を満たす自然数の組 （ａ，ｂ，ｃ）。 例：　 ３2＋４2＝５2 なので、（３，４，５）はピタゴラス数。 ピタゴラス数の三角形は直角三角形である。 ピタゴラス数の見つけ方 次の条件を満たす（ａ，ｂ，ｃ） 　ａ＝ｍ2−...

.ピタゴラス数
ピタゴラス数：　三平方の定理を満たす自然数の組 （ａ，ｂ，ｃ）。
例：　
３²＋４²＝５² なので、（３，４，５）はピタゴラス数。
ピタゴラス数の三角形は直角三角形である。

ピタゴラス数の見つけ方
次の条件を満たす（ａ，ｂ，ｃ）
　ａ＝ｍ²−ｎ²　（ｍ、ｎは自然数で、ｍ＞ｎ）
　ｂ＝２ｍｎ
　ｃ＝ｍ²＋ｎ²
例：
ｍ＝２、ｎ＝１　のとき、ａ＝３、ｂ＝４、ｃ＝５
ｍ＝３、ｎ＝２　のとき、ａ＝５、ｂ＝１２、ｃ＝１３

ピタゴラス数の自然数倍もピタゴラス数
例：　（３，４，５）の ｎ倍　（ｎ＝１，２，３…）
　（３ｎ）²＋（４ｎ）²−（５ｎ）²
＝ｎ²（３²＋４²−５²）　　３²＋４²＝５² なので、
＝０
よって、 （３ｎ）²＋（４ｎ）²＝（５ｎ）²

直角三角形の辺の長さ
三平方の定理の逆も成り立つ。
三角形の３辺の長さが ａ、ｂ、ｃ で、ａ²＋ｂ²＝ｃ²　ならば、斜辺が ｃ の直角三角形。

　

例１：　３辺が５ｃｍ、１２ｃｍ、１３ｃｍ はどんな三角形？
５²＋１２²＝１３² なので、
１３ｃｍの辺を斜辺とする直角三角形。

例２：　直角三角形の斜辺が１０ｃｍで、ほかの辺が８ｃｍのとき、残りの辺の長さ ｘ は？
　８²＋ｘ²＝１０²
　ｘ²＝１００−６４＝３６
　ｘ＞０　なので、ｘ＝６ （ｃｍ）


]]>http://mtf.z-abc.com/?eid=8897702008-09-02T08:47:39+09:002008-09-01T23:53:24Z2008-09-01T23:47:39Z

　全国学力テストの分析結果が新聞に載っています〔１〕。中学の数学Ａで、文章を文字式で表す問題が出されています。力試しをしてみましょう。 問題 　アからエの文章を文字式で表してください。単位は不要です（注）。 ア：　１辺 ａｃｍの正三角形と１辺 ｂｃｍ...

.
問題
　アからエの文章を文字式で表してください。単位は不要です^（注）。

ア：　１辺 ａｃｍの正三角形と１辺 ｂｃｍの正方形を、それぞれ針金で１個ずつ作ったときの針金の全体の長さ　（ｃｍ）

イ：　３人が ａ円ずつ出し合ったお金で、ｂ円のりんごを４個買ったときの残ったお金　（円）

ウ：　３ｇの袋に ａｇの品物を入れ、４ｇの袋に ｂｇの品物を入れたときの全体の重さ　（ｇ）

エ：　３分間に ａリットルの割合で水が出る蛇口じゃぐちと、４分間に ｂリットルの割合で水が出る蛇口から、水を同時に１分間出したときの水の量　（リットル）


^（注）実際の問題文は、「アからエの中に、３ａ＋４ｂ という式で表されるものがあります。それを１つ選んでください」です。

答 え











答 え

ア．　３ａ＋４ｂ

イ．　３ａ−４ｂ

ウ．　（３＋ａ）＋（４＋ｂ）＝ａ＋ｂ＋７

エ．　ａ／３＋ｂ／４＝（４ａ＋３ｂ）／１２


参考文献
１．読売新聞　２００８年８月３０日　「全国学力テスト結果分析　中学生　反比例や関数・文字式は苦手」


]]>http://mtf.z-abc.com/?eid=8888482008-09-01T08:05:38+09:002008-08-31T23:07:15Z2008-08-31T23:05:38Z

震源までの距離 三平方の定理： 直角三角形の辺の長さを ａ、ｂ、ｃ （斜辺）とすると、ａ2＋ｂ2＝ｃ2 　　 三平方の定理の証明 内接する正方形の面積は、大きい正方形の面積から４つの直角三角形の面積を引いたものなので、 　ｃ2＝（ａ＋ｂ）2−（ａｂ／２）×...

.震源までの距離
三平方の定理：
直角三角形の辺の長さを ａ、ｂ、ｃ （斜辺）とすると、ａ²＋ｂ²＝ｃ²

　　

三平方の定理の証明
内接する正方形の面積は、大きい正方形の面積から４つの直角三角形の面積を引いたものなので、
　ｃ²＝（ａ＋ｂ）²−（ａｂ／２）×４
　　＝ａ²＋ｂ²

　　　

三平方の定理の証明２
△Ｃ ＢＡ（大）∽△ＤＢＣ（左）　から、
　　ｃ：ａ＝ａ：ｍ　なので、ａ²＝ｃｍ　・・・?
　△Ｃ ＢＡ（大）∽△ＤＣＡ（右）　から、
　　ｃ：ｂ＝ｂ：ｎ　なので、ｂ²＝ｃｎ　・・・?
　?＋?から、ａ²＋ｂ²＝ｃｍ＋ｃｎ＝ｃ（ｍ＋ｎ）＝ｃ²

　　　


]]>http://mtf.z-abc.com/?eid=8864772008-08-29T13:16:04+09:002008-08-29T04:28:45Z2008-08-29T04:16:04Z

　三平方の定理から１辺の長さを求めるときに、平方根を計算します。これから、素数2 の平方根を見つけてみましょう。素数は１７のように、その数か１でしか割り切れない数です。 例題１ 　ｘ＝√（１４４）　の値を求めてください。 　ｘ＝√（１４４） の計算はか...

.² の平方根を見つけてみましょう。素数は１７のように、その数か１でしか割り切れない数です。

例題１
　ｘ＝√（１４４）　の値を求めてください。

　ｘ＝√（１４４） の計算はかんたんですね。１４４が素因数分解しやすいからです。
　１４４＝２×７２＝２×２×３６＝（２×６）²＝１２²
　よって、ｘ＝１２　・・・（答）

例題２
　ｘ＝√（５２９） のように ｘ が求まりました。さらに計算できれば、その値を求めてください。

　５２９は、３や９の倍数ではありません。計算結果が自然数になるかどうかも不明です。そこで、不等式を使って確かめてみましょう。
　√（５２９）＝１０√（５．２９）　なので、
　１０√５＜ｘ＜１０√６
　２２．３６２…＜ｘ＜２４．４９４９…　から
　ｘ＝２３　とすると、２３²＝５２９
　よって、ｘ＝２３　・・・（答）

練習
１．　直角三角形の斜辺の２乗は１６９ｃｍ²です。ほかの１辺の２乗は２５ｃｍ²です。３辺の長さを求めてください。

２．　直角三角形の直角をはさむ２辺の和は４１ｃｍで、差は１ｃｍです。３辺の長さを求めてください。

３．　直角三角形の直角をはさむ２辺は１２ｃｍと３５ｃｍです。斜辺の長さを求めてください。

答 え











答 え

１．
　√（１６９）＝１３
　√（２５）＝５
　√（１６９−２５）＝√（１４４）＝１２
　よって３辺は、５ｃｍ、１２ｃｍ、１３ｃｍ（斜辺）　・・・（答）

２．
　３辺をａ、ｂ、ｃ （斜辺）、ａ＞ｂ とする。
　ａ＋ｂ＝４１
　ａ−ｂ＝１
　２ａ＝４２　から、ａ＝２１、ｂ＝２０
　ｃ＝√（２１²＋２０²）＝√（８４１）＝１０√（８．４１）
　１０√８＜１０√（８．４１）＜１０√９　なので、
　２０√２＝２８．２８…＜ｃ＜３０
　ｃ＝２９　とすると、ｃ²＝８４１
　（答）　２０ｃｍ、２１ｃｍ、２９ｃｍ（斜辺）
　
３．
　斜辺をｘ（ｃｍ）とすると、
　ｘ＝√（１２²＋３５²）＝√（１３６９）＝１０√（１３．６９）
　１０√（１３）＜ｘ＜１０√（１４）　計算しにくいので、
　１０√（１２）＜ｘ＜１０√（１６）　とします。
　２０√３＝３４．６４…＜ｘ＜４０
　３５≦ｘ≦３９
　１３６９には９がつく。７²＝４９　なので、ｘ＝３７　とすると、
　３７²＝１３６９　よって、ｘ＝３７（ｃｍ）　・・・（答）


]]>http://mtf.z-abc.com/?eid=8851372008-08-27T22:56:23+09:002008-08-27T14:11:13Z2008-08-27T13:56:23Z

　三角形の３辺の長さが ａ、ｂ、ｃ で、ａ2＋ｂ2＝ｃ2　ならば、斜辺を ｃ とする直角三角形です。では、どのようなときに鋭角三角形または鈍角三角形になるでしょうか。 　下の左の図を見てください。外側の三角形は鋭角三角形です。 　内側の三角形は直角三角形な...

.²＋ｂ²＝ｃ²　ならば、斜辺を ｃ とする直角三角形です。では、どのようなときに鋭角三角形または鈍角三角形になるでしょうか。

　下の左の図を見てください。外側の三角形は鋭角三角形です。
　内側の三角形は直角三角形なので、ｘ²＋ｙ²＝ｃ² です。
　ａ＞ｘ　ｂ＞ｙ　なので、　ａ²＞ｘ²　ｂ²＞ｙ²
　よって、ａ²＋ｂ²＞ｘ²＋ｙ²＝ｃ²　から、
　鋭角三角形ならば、ａ²＋ｂ²＞ｃ²　がいえます。

　　　

例題
　上の右の図から、鈍角三角形ならば、ａ²＋ｂ²＜ｃ²　となることを証明してください。
　
　ｘ²＋ｙ²＝ｃ²　で、ｘ＞ａ　ｙ＞ｂ
　ｘ²＞ａ²　ｙ²＞ｂ²　から、ａ²＋ｂ²＜ｘ²＋ｙ²＝ｃ²
　よって、鈍角三角形ならば、ａ²＋ｂ²＜ｃ²

（参考）
　ａ²＋ｂ²＜ｃ²　ならば、鈍角三角形です。なぜなら、
　ａ²＋ｂ²＜ｘ²＋ｙ²＝ｃ²　のとき、
　内側の三角形で、辺 ｃ の対角は９０°より大きいからです。

規則
ｃ が最長のとき、 鋭角三角形　⇔　ａ2＋ｂ2＞ｃ2 直角三角形　⇔　ａ2＋ｂ2＝ｃ2 鈍角三角形　⇔　ａ2＋ｂ2＜ｃ2

練習
１．　辺の長さが６ｃｍ、９ｃｍ、７ｃｍの三角形は、鋭角・直角・鈍角三角形のどれですか。

２．　辺の長さが４５ｃｍ、２４ｃｍ、５１ｃｍの三角形は、鋭角・直角・鈍角三角形のどれですか。

３．　１辺が４ｃｍで、最長の辺が６ｃｍの鈍角三角形があります。残りの１辺が自然数になる長さをすべて求めてください。

答 え











答 え

１．
　６²＋７²＝８５　　９²＝８１
　６²＋７²＞９²　なので、鋭角三角形　・・・（答）

２．
　縮小した相似な三角形で調べる。
　４５：２４：５１＝（４５／３）：（２４／３）：（５１／３）
　　　　　　　　 ＝１５：８：１７
　１５²＋８²＝２８９　　１７²＝２８９
　１５²＋８²＝１７²　なので、直角三角形　・・・（答）

３．
　残りの辺の長さを ｎ（ｃｍ）とすると、鈍角三角形なので、
　ｎ²＋４²＜６²
　ｎ²＜２０
　０＜ｎ　で、ｎ＜５　なので、
　ｎ＝１，２，３，４（ｃｍ）　・・・（答）
（別解）
　ｎ²＜２０
　０＜ｎ＜√（２０）＝２√５＝２√（２．２３６…）＝４．４…
　よって、ｎ＝１，２，３，４


]]>http://mtf.z-abc.com/?eid=8840362008-08-26T17:20:17+09:002008-08-26T08:44:14Z2008-08-26T08:20:17Z

　三平方の定理は逆も成り立ちます。三角形の３辺の長さが ａ、ｂ、ｃ で、ａ2＋ｂ2＝ｃ2　ならば、斜辺が ｃ の直角三角形です。 　　　 例題１ 　三角形があります。３辺の長さは、２０ｃｍ、２１ｃｍ、２９ｃｍです。この三角形は直角三角形ですか。 　２０2...

.²＋ｂ²＝ｃ²　ならば、斜辺が ｃ の直角三角形です。

　　　

例題１
　三角形があります。３辺の長さは、２０ｃｍ、２１ｃｍ、２９ｃｍです。この三角形は直角三角形ですか。

　２０²＋２１²＝８４１、２９²＝８４１　なので、
　斜辺が２９ｃｍの直角三角形です。　・・・（答）
　

例題２
　直角三角形の３辺の長さを ａ、ｂ、ｃ （斜辺）とします。ａ＝２４で、ｃ＝２５ のとき、ｂ を求めてください。

　ｂ＝√（２５²−２４²）
　　＝√｛（２５＋２４）（２５−２４）｝＝√（４９）＝７　・・・（答）

例題３
　直角三角形の３辺の長さを ａ、ｂ、ｃ （斜辺）とします。ａ＝５、ｂ＝１２ のとき、ｃ を求めてください。

　ｃ＝√（５²＋１２²）＝√（１６９）＝１３　・・・（答）

(参考）
　√（１６９）が自然数になるか、次のように確認できます。
　ｎ＝√（１６９）＝１０√（１．６９）　とすると、
　１＜１．６９＜２　なので、
　１０√１＜ｎ＜１０√２＝１４．１４２…
　１０＜ｎ＜１４．１…　なので、
　ｎを１３とすると、１３²＝１６９　から、ｎ＝１３ が見つかります（３の２乗は９です）。

練習
１．　直角三角形の３辺の長さを ａ、ｂ、ｃ （斜辺）とします。ａ＝√３、ｂ＝√５　のとき、ｃ を求めてください。

２．　長方形があります。縦が８ｃｍ、横が１５ｃｍです。対角線の長さを求めてください。

答 え











答 え

１．
　ｃ＝√（√３²＋√５²）＝√８＝２√２　・・・（答）

２．
　対角線の長さを ｘ とすると、
　ｘ＝√（８²＋１５²）＝√（２８９）
　√（２８９）が自然数か確認する。
　ｘ＝１０√（２．８９）　なので、
　１０√２＜ｘ＜１０√３
　１４．１…＜ｘ＜１７．３…　から、　　→　平方根の覚え方
　ｘ を１７とすると、１７²＝２８９　なので、
　ｘ＝１７（ｃｍ）　・・・（答）


]]>http://mtf.z-abc.com/?eid=8832192008-08-25T18:36:42+09:002008-08-25T09:55:17Z2008-08-25T09:36:42Z

　３辺の長さが３、４、５の三角形は直角三角形です。なぜなら、３2＋４2＝５2 で、三平方の定理を満たすからです。 　三平方の定理を満たす３つの自然数の組 （ａ，ｂ，ｃ） をピタゴラス数といいます。 例題１ 　三角形の３辺の長さを ａ、ｂ、ｃ （斜辺）とする...

.²＋４²＝５² で、三平方の定理を満たすからです。

　三平方の定理を満たす３つの自然数の組 （ａ，ｂ，ｃ） をピタゴラス数といいます。

例題１
　三角形の３辺の長さを ａ、ｂ、ｃ （斜辺）とするとき、ピタゴラス数はどれですか。
　? ａ＝６　ｂ＝７　ｃ＝８
　? ａ＝５　ｂ＝１１　ｃ＝１２
　? ａ＝８　ｂ＝１５　ｃ＝１７

　? ６²＋７²＝３６＋４９＝８５≠８²
　? ５²＋１１²＝２５＋１２１＝１４６≠１２²
　? ８²＋１５²＝６４＋２２５＝２８９＝１７²　・・・（答）

例題２
　直角三角形の３辺の長さを ａ、ｂ、ｃ （斜辺） とするとき、残りの１辺の長さを求めてください。
　? ａ＝１６　ｂ＝１２
　? ｂ＝１２　ｃ＝１３

　? ｃ＝√（１６²＋１２²）
　　　　＝√（４００）
　　　　＝２０　　・・・（答）
　? ａ＝√（１３²−１２²）
　　　　＝√｛（１３＋１２）（１３−１２）｝
　　　　＝５　　・・・（答）

練習
１．　２辺の長さが９ｃｍと１５ｃｍの直角三角形があります。残りの辺の長さ ｘｃｍを求めてください。ｘは自然数とします。

２．　直角三角形の辺の長さを ａ、ｂ、ｃ （斜辺）とします。ａ²＋ｂ²＝ｃ² を満たす自然数の組（ピタゴラス数）は、次の式から求めることができます。
　ａ＝ｍ²−ｎ²　（ｍ、ｎは自然数で、ｍ＞ｎ）
　ｂ＝２ｍｎ
　ｃ＝ｍ²＋ｎ²

（１） 上の３式をあてはめると、ａ²＋ｂ²＝ｃ² となることを証明してください。

（２） １≦ｍ≦４　の範囲で、ピタゴラス数 （ａ，ｂ，ｃ）をすべて求めてください。

答 え











答 え

１．
　ｘを斜辺とすると、
　　ｘ＝√（９²＋１５²）
　　　　＝√（３０６）
　　　　＝√（２×３×５１）
　　　　＝３√（２×１７）
　　１７は素数なので、ｘは自然数ではない。
　ｘを斜辺でないとすると、
　　ｘ＝√（１５²−９²）
　　　＝√｛（１５−９）（１５＋９）｝
　　　＝√（６×２４）
　　　＝√（６×４×６）
　　　＝１２（ｃｍ）　・・・（答）

２．
（１） ａ²＋ｂ²＝（ｍ²−ｎ²）²＋（２ｍｎ）²
　　　　　　　　＝ｍ⁴＋ｎ⁴-２ｍ²ｎ²＋４ｍ²ｎ²
　　　　　　　　＝（ｍ²＋ｎ²）²
　　　ｃ＝ｍ²＋ｎ²　なので、ａ²＋ｂ²＝ｃ²

（２）
? ｍ＝１　のとき、ｍ＞ｎ　となる ｎ はない。
? ｍ＝２　で、ｎ＝１　のとき、
　　ａ＝２²−１²＝３、ｂ＝２×２×１＝４、ｃ＝２²＋１²＝５
? ｍ＝３　で、ｎ＝１　のとき、
　　ａ＝８、ｂ＝６、ｃ＝１０
? ｍ＝３　で、ｎ＝２　のとき、
　　ａ＝５、ｂ＝１２、ｃ＝１３
? ｍ＝４　で、ｎ＝１　のとき、
　　ａ＝１５、ｂ＝８、ｃ＝１７
? ｍ＝４　で、ｎ＝２　のとき、
　　ａ＝１２、ｂ＝１６、ｃ＝２０
? ｍ＝４　で、ｎ＝３　のとき、
　　ａ＝７、ｂ＝２４、ｃ＝２５
（答）　（３，４，５）　（８，６，１０）　（５，１２，１３）
　　　　（１５，８，１７）　（１２，１６，２０）　（７，２４，２５）
（参考）
　（８，６，１０）＝（６，８，１０）と（１２，１６，２０）は、（３，４，５）の倍数になっています。


]]>http://mtf.z-abc.com/?eid=8786912008-08-22T16:53:14+09:002008-08-22T08:02:03Z2008-08-22T07:53:14Z

　相似を利用して、三平方の定理を証明してみましょう。 　　　 例題 　△ＣＢＡ で、Ｃ から斜辺ＢＡに垂線引き、交点をＤとします。 　２角が等しいので、△ＣＢＡ∽△ＤＢＣ∽△ＤＣＡ　になります。 　この関係から、ａ2＋ｂ2＝ｃ2　を証明してください。ＢＤ＝ｍ...

.
　　　

例題
　△ＣＢＡ で、Ｃ から斜辺ＢＡに垂線引き、交点をＤとします。
　２角が等しいので、△ＣＢＡ∽△ＤＢＣ∽△ＤＣＡ　になります。
　この関係から、ａ²＋ｂ²＝ｃ²　を証明してください。ＢＤ＝ｍ、ＤＡ＝ｎ とします。

　　　

　△ＣＢＡ（大）∽△ＤＢＣ（左）　から、
　　ｃ：ａ＝ａ：ｍ　なので、ａ²＝ｃｍ　・・・?
　△ＣＢＡ（大）∽△ＤＣＡ（右）　から、
　　ｃ：ｂ＝ｂ：ｎ　なので、ｂ²＝ｃｎ　・・・?
　?＋?から、ａ²＋ｂ²＝ｃｍ＋ｃｎ＝ｃ（ｍ＋ｎ）＝ｃ²

練習
　△ＡＢＣ があります。ＡＢは１０ｃｍ、ＢＣは１５ｃｍ、ＣＡは１３ｃｍです。ＡからＢＣ に引いた垂線の交点をＤとします。次の問いに答えてください。

　　　

１．　ＢＤの長さを ｘ として、ＡＤを ｘ で表してください。

２．　ＤＣ の長さを １５−ｘ として、ＡＤを ｘ で表してください。

３．　ｘ を求めてください。

４．　△ＡＢＣ の面積を求めてください。

答 え











答 え

１．
　三平方の定理から、
　ＡＤ²＋ｘ²＝１０²
　ＡＤ＝√（１００−ｘ²）　（ｃｍ）　・・・（答）

２．
　ＡＤ²＋（１５−ｘ）²＝１３²
　ＡＤ²＝１３²−（１５−ｘ）²
　　　　＝１６９−２２５＋３０ｘ−ｘ²
　　　　＝−ｘ²＋３０ｘ−５６
　ＡＤ＝√（−ｘ²＋３０ｘ−５６）　（ｃｍ）　・・・（答）

３．
　ＡＤ²＝１００−ｘ²＝−ｘ²＋３０ｘ−５６　から、
　３０ｘ＝１５６
　ｘ＝１５６／３０＝５２／１０＝２６／５　（ｃｍ）　・・・（答）

４．
　ＡＤ＝√（１００−ｘ²）＝√（１０²−２６²／５²）
　　　＝（１／５）√（５０²−２６²）
　　　＝（１／５）√｛（５０＋２６）（５０−２６）｝
　　　＝（１／５）√（７６×２４）
　　　＝（４／５）√（１９×６）
　　　＝（４／５）√（１１４）
　よって、
　△ＡＢＣ＝１５×（４／５）√（１１４）／２
　　　　　　＝６√（１１４）　（ｃｍ²）　・・・（答）

（参考）
　√（２乗の差）は、√（和×差）のほうが、次の例よりも素因数分解しやすい。
　√（５０²−２６²）＝√（２５００−６７６）＝√（１８２４）＝４√（１１４）


]]>http://mtf.z-abc.com/?eid=8780072008-08-21T21:22:14+09:002008-08-21T12:24:11Z2008-08-21T12:22:14Z

　直角三角形の辺の長さを ａ、ｂ、ｃ （斜辺） とすると、ａ2＋ｂ2＝ｃ2　の関係になっています。この関係を三平方の定理といいます。また、ピタゴラスの定理ともいいます。 　　　 例題 　１辺の長さが ａ＋ｂ の正方形に、１辺の長さがが ｃ の正方形が内接して...

.²＋ｂ²＝ｃ²　の関係になっています。この関係を三平方の定理といいます。また、ピタゴラスの定理ともいいます。

　　　

例題
　１辺の長さが ａ＋ｂ の正方形に、１辺の長さがが ｃ の正方形が内接しています。内接する正方形の面積 ｃ² を ａ と ｂ で表してください。

　　　

　内接する正方形の面積は、大きい正方形の面積から４つの直角三角形の面積を引いたものなので、
　ｃ²＝（ａ＋ｂ）²−（ａｂ／２）×４
　　＝ａ²＋ｂ²

練習
１．　正三角形があります。１辺の長さは２です。垂線の長さを求めてください。

２．　直角二等辺三角形があります。２辺の長さはそれぞれ１です。斜辺の長さを求めてください。

３．　問１の三角形の面積は問２の三角形の面積の何倍ですか。

答 え











答 え

１．
　求める長さを ｘ とすると、
　ｘ²＋１²＝２²
　ｘ＞０　なので、ｘ＝√３　・・・（答）

２．
　１²＋１²＝ｘ²
　ｘ＞０　なので、ｘ＝√２　・・・（答）

３．
　正三角形の面積＝（２×√３）／２
　直角二等辺三角形の面積＝（１×１）／２
　よって、２√３　（倍）　・・・（答）


]]>http://mtf.z-abc.com/?eid=8768052008-08-20T19:22:16+09:002008-09-04T23:46:55Z2008-08-20T10:22:16Z

　中学で習う地震用語の知識をもとに、問題を解いてみましょう。 　地震には、小さなゆれ（初期微動）と大きなゆれ（主要動）があります。最初（Primary）のゆれはＰ波により、次（Secondary）のゆれはＳ波によるものです。 　　　 　Ｐ波の速さをＶp、Ｓ波の速...

.
　地震には、小さなゆれ（初期微動）と大きなゆれ（主要動）があります。最初（Primary）のゆれはＰ波により、次（Secondary）のゆれはＳ波によるものです。

　　　

　Ｐ波の速さをＶp、Ｓ波の速さをＶsとすると、
　初期微動継続時間
＝Ｓ波の到着時刻−Ｐ波の到着時刻
＝震源までの距離×（１／Ｖs−１／Ｖp）
よって、
　震源までの距離
＝｛ＶpＶs／（Ｖp−Ｖs）｝×初期微動継続時間

例題１
　Ｖp＝５〜７（ｋｍ／秒）、Ｖs＝３〜４（ｋｍ／秒）として、ＶpＶs／（Ｖp−Ｖs）の値を計算してください。

　Ｖp＝５、Ｖs＝３　のとき、ＶpＶs／（Ｖp−Ｖs）＝１５／２＝７．５
　Ｖp＝７、Ｖs＝４　のとき、ＶpＶs／（Ｖp−Ｖs）＝２８／３＝９．３
　よって、７．５〜９．３（ｋｍ／秒）　・・・（答）

例題２
　初期微動継続時間が１５秒、ＶpＶs／（Ｖp−Ｖs）＝８（ｋｍ／秒）として、震源までの距離を求めてください。

　震源までの距離＝８×１５＝１２０（ｋｍ）

練習
　震源Ｏから６０ｋｍ真上にＡ地点があり、Ａ地点から８０ｋｍ離れてＢ地点があります。Ａ地点とＢ地点は同じ高さです。
　震源までの距離（ｋｍ）＝８×初期微動継続時間（秒）
として、次の問いに答えてください。

１．　Ｂ地点から震源までの距離は何ｋｍですか。直角三角形の辺の長さを ａ、ｂ、ｃ （斜辺）とすると、ａ²＋ｂ²＝ｃ² という関係（三平方の定理）があります。

２．　Ｂ地点の初期微動継続時間は何秒ですか。

答 え











答 え
１．
　ＯＢ＝√（ＯＡ²＋ＡＢ²）
　　　 ＝√（６０²＋８０²）
　　　 ＝１０√（３６＋６４）
　　　 ＝１００（ｋｍ）　・・・（答）

２．
　初期微動継続時間
＝ＯＢ／８＝１００／８＝１２．５（秒）　・・・（答）


]]>http://mtf.z-abc.com/?eid=8756222008-08-19T09:25:59+09:002008-08-19T00:26:54Z2008-08-19T00:25:59Z

身近な自己相似 　本の大きさは、自己相似になるように紙を裁断した大きさで決まります。Ｂ版の大きさは、Ｂ１＞Ｂ２＞Ｂ３ … のようになっています。 　Ｂ１とＢ２は相似です。Ｂ１の長い辺を半分にした長さがＢ２の短い辺になります。Ｂ１の短い辺がＢ２の長い辺にな...

.身近な自己相似
　本の大きさは、自己相似になるように紙を裁断した大きさで決まります。Ｂ版の大きさは、Ｂ１＞Ｂ２＞Ｂ３ … のようになっています。
　Ｂ１とＢ２は相似です。Ｂ１の長い辺を半分にした長さがＢ２の短い辺になります。Ｂ１の短い辺がＢ２の長い辺になります。

　　　

１．　Ｂ１の長い辺を ｘ、短い辺を１として、ｘを求めてください。

２．　Ｂ１の短い辺は７２８ｍｍです。Ｂ１の長い辺を求めてください。
√２＝１．４１４２ として少数点以下第１位を四捨五入し、整数で答えてください。

３．　中学の数学の教科書はＢ５版が使われています。教科書の大きさを求めてください。

答 え

ピラミッドと地上絵
　ナスカの地上絵のハチドリを見たＡさんは、相似を使って描けるのでは、と考えました。そこでＡさんは、次のような実験をしました。
　ハチドリの代わりに、小さな△ＡＢＣを地面に描きました。点Ｏからロープを張り、一番離れた三角形の頂点Ａまでの距離ＯＡで、ロープに結び目を１個作り、同じ長さでさらに７個結び目を作りました。最初の結び目までの間を８等分し小さな印をつけました。
　小さな印の数は、ＯＢが３、ＯＣが９です。大きな三角形は、大きな結び目をＯＡ’が８、ＯＢ’が３、ＯＣ’が９をもとに描くことができました。

　

１．　点Ｏを何といいますか。

２．　小さな三角形と大きな三角形の相似比を答えてください。

３．　小さな三角形の１辺が２ｍのとき、対応する大きな三角形の１辺は何メートルですか。

答 え

三角形の重心
１．　次の図形の重心はどこですか。
　（１）円　　（２）正方形　　（３）長方形　　（４）平行四辺形

２．　□ＡＢＣＤの図で、ＢＤを１２ｃｍとすると、ＸＹは何ｃｍですか。

　　

３．　△ＡＢＣ は、∠Ａが直角な二等辺三角形です。ＢＣは２４ｃｍです。重心をＧとしたとき、△ＧＢＣの面積を求めてください。

答 え


]]>http://mtf.z-abc.com/?eid=8750172008-08-18T14:33:08+09:002008-08-18T05:35:24Z2008-08-18T05:33:08Z

地図から長さを求める １．　２０万分の地図では、１ｃｍは何ｋｍですか。 ２．　北海道の礼文島に、久種湖（くしゅこ）という湖があります。地図上で、湖の最長幅を測ると７ｃｍあります。地図についている物差しでは、１．５ｃｍが２５０ｍになっています。湖の最長...

.地図から長さを求める
１．　２０万分の地図では、１ｃｍは何ｋｍですか。

２．　北海道の礼文島に、久種湖（くしゅこ）という湖があります。地図上で、湖の最長幅を測ると７ｃｍあります。地図についている物差しでは、１．５ｃｍが２５０ｍになっています。湖の最長幅を求めてください。

　　　（出典： 国土地理院２．５万分の１地図 船泊）

答 え

辺の長さを求める
１．　図１で、ＢＥ＝５、ＣＤ＝１５　のとき、ＡＦを求めてください。

　　　

２．　図２で、ＡＢ＝３、ＢＣ＝５、ＣＤ＝１４、ＡＦ＝８　のとき、ＢＥを求めてください。

答 え

川幅を求める
境界×をもとに、土地の面積を測量で求めることになりました。ところが、土砂くずれで境界Ｄが見つかりません。測定値をもとに作図すると、∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°、∠Ｃ＝４５°、ＡＢ＝６ｃｍ、ＢＣ＝１０ｃｍになっています。ＢＣ の実際の距離は３０ｍです。

　　　

１．　土地が台形であるとして、ＡＤの距離を求めてください。

２．　ＡＤの距離をもとにＤ地点を掘ると、境界が見つかりました。土地の面積を求めてください。

３．　土地の平米単価が５万円／ｍ² とすると、この土地はいくらですか。

答 え


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